相反方程式

$x^{4} - 4 x^{3} + a x^{2} - 4 x + 1 = 0$ のように係数が左右対称な 4 次方程式を $x^{2}$ で割り、 $t = x + \frac{1}{x}$ と置き換えて $t$ の 2 次方程式に直して解ける

前提

剰余の定理・因数定理と高次方程式（数学II 複素数と方程式）
2 変数の対称式（数学I 数と式）
複素数と 2 次方程式の虚数解（数学II 複素数と方程式）

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算数中学高校大学大学院

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複素数と 2 次方程式の虚数解（数学II 複素数と方程式）

説明

$x^{4} - 4 x^{3} + a x^{2} - 4 x + 1 = 0$ のように、係数を前から読んでも後ろから読んでも同じ並びになる 4 次方程式を相反方程式といいます。この技能を使うと、4 次方程式を「 $t$ の 2 次方程式」と「 $x$ の 2 次方程式」に分けて解けます。因数定理で使える整数の解が見つからないときにも使えるのが強みです。

なぜそうしてよいのか

一般に $a x^{4} + b x^{3} + c x^{2} + b x + a = 0$ （ $a \neq = 0$ ）を考えます。定数項が $a \neq = 0$ なので $x = 0$ は解ではありません。したがって両辺を $x^{2}$ で割ってよく、 $a x^{2} + b x + c + \frac{b}{x} + \frac{a}{x ^{2}} = 0$ となります。係数が左右対称なので、同じ係数どうしをまとめると $a (x^{2} + \frac{1}{x ^{2}}) + b (x + \frac{1}{x}) + c = 0$ の形になります。

ここで $y = \frac{1}{x}$ とみると、 $x y = 1$ です。2 変数の対称式の式変形 $x^{2} + y^{2} = (x + y)^{2} - 2 x y$ を使えば、 $x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} = (x + \frac{1}{x})^{2} - 2$ が成り立ちます。そこで $t = x + \frac{1}{x}$ とおくと、方程式は $a (t^{2} - 2) + b t + c = 0$ 、つまり $t$ の 2 次方程式 $a t^{2} + b t + (c - 2 a) = 0$ になります。

$t$ が求まったら、 $x + \frac{1}{x} = t$ の両辺に $x$ （ $\neq = 0$ ）を掛けて $x^{2} - t x + 1 = 0$ を解けば $x$ が得られます。この 2 次方程式の 2 つの解の積は $1$ なので、解は $x$ と $\frac{1}{x}$ の組になっています。もとの方程式も、 $x$ が解なら $\frac{1}{x}$ も解になる（係数が対称だから）という性質をもっていて、それをうまく利用しているわけです。

手順

係数が左右対称（ $a x^{4} + b x^{3} + c x^{2} + b x + a$ の形）であることを確かめ、定数項 $a \neq = 0$ より $x = 0$ は解でないことを確認する
両辺を $x^{2}$ で割り、 $a (x^{2} + \frac{1}{x ^{2}}) + b (x + \frac{1}{x}) + c = 0$ とまとめる
$t = x + \frac{1}{x}$ とおき、 $x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} = t^{2} - 2$ を代入して $t$ の 2 次方程式 $a t^{2} + b t + (c - 2 a) = 0$ にする
$t$ の 2 次方程式を解く
求めた $t$ のそれぞれについて $x^{2} - t x + 1 = 0$ を解き、すべての $x$ を答える

例題

方程式 $x^{4} - 4 x^{3} + 5 x^{2} - 4 x + 1 = 0$ の解を、複素数の範囲ですべて求めよ。

例題の解答

【手順1】係数は $1, - 4, 5, - 4, 1$ で左右対称。 $x = 0$ を代入すると左辺は $1 \neq = 0$ なので、 $x = 0$ は解ではない。
【手順2】両辺を $x^{2}$ で割ると $x^{2} - 4 x + 5 - \frac{4}{x} + \frac{1}{x ^{2}} = 0$ より $(x^{2} + \frac{1}{x ^{2}}) - 4 (x + \frac{1}{x}) + 5 = 0$ 。
【手順3】 $t = x + \frac{1}{x}$ とおくと $x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} = t^{2} - 2$ なので $(t^{2} - 2) - 4 t + 5 = 0$ 、すなわち $t^{2} - 4 t + 3 = 0$ 。
【手順4】 $(t - 1) (t - 3) = 0$ より $t = 1, 3$ 。
【手順5】 $t = 3$ のとき $x^{2} - 3 x + 1 = 0$ より $x = \frac{3 \pm 5}{2}$ 。 $t = 1$ のとき $x^{2} - x + 1 = 0$ で判別式は $1 - 4 = - 3 < 0$ なので $x = \frac{1 \pm 3 i}{2}$ 。
（確認： $(x^{2} - 3 x + 1) (x^{2} - x + 1) = x^{4} - 4 x^{3} + 5 x^{2} - 4 x + 1$ となり、もとの式に一致する。）
よって解は $x = \frac{3 \pm 5}{2}, \frac{1 \pm 3 i}{2}$ 。

答え: $\frac{3 + 5}{2}, \frac{3 - 5}{2}, \frac{1 + 3 i}{2}, \frac{1 - 3 i}{2}$

よくある誤り

$x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} = t^{2}$ としてしまう誤り。 $(x + \frac{1}{x})^{2} = x^{2} + 2 + \frac{1}{x ^{2}}$ なので、正しくは $x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} = t^{2} - 2$ 。
$t$ の値（例題なら $t = 1, 3$ ）を求めたところで答えにしてしまう誤り。問われているのは $x$ なので、正しくは各 $t$ について $x^{2} - t x + 1 = 0$ を解いて $x$ まで戻す。
$x + \frac{1}{x} = t$ を $x^{2} + t x + 1 = 0$ と符号を間違えて直す誤り。両辺に $x$ を掛けると $x^{2} + 1 = t x$ なので、正しくは $x^{2} - t x + 1 = 0$ 。
「 $x + \frac{1}{x} ≧ 2$ だから $t = 1$ は不適」と捨ててしまう誤り。 $t ≧ 2$ が言えるのは $x$ が正の実数のときだけで、複素数の範囲では $t = 1$ からも解 $x = \frac{1 \pm 3 i}{2}$ が得られる。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

相反方程式

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