複素数と方程式の問題

$P(x)=x^3-4x^2+x+6$ とおきます。

手順 1：$P(a)=0$ となる $a$ を探す

因数定理により、$P(a)=0$ となる $a$ が見つかれば、$P(x)$ は $x-a$ で割り切れます。定数項 $6$ の約数 $\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 6$ を順に代入してみます。

$$P(1)=1-4+1+6=4\ne 0$$
$$P(-1)=(-1{)}^3-4\cdot (-1{)}^2+(-1)+6=-1-4-1+6=0$$

よって、$P(x)$ は $x+1$ で割り切れます。

手順 2：$x+1$ で割る

$P(x)$ を $x+1$ で割ります。

• $x^3÷x=x^2$ より、$x^2(x+1)=x^3+x^2$ を引くと $-5x^2+x+6$
• $-5x^2÷x=-5x$ より、$-5x(x+1)=-5x^2-5x$ を引くと $6x+6$
• $6x÷x=6$ より、$6(x+1)=6x+6$ を引くと余りは $0$

したがって、商は $x^2-5x+6$ です。
$$P(x)=(x+1)(x^2-5x+6)$$

手順 3：2 次式を因数分解する

$x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$ なので、
$$P(x)=(x+1)(x-2)(x-3)$$

手順 4：方程式を解く

方程式は $(x+1)(x-2)(x-3)=0$ となります。よって
$$x+1=0\text{または}x-2=0\text{または}x-3=0$$
となり、解は $x=-1,2,3$ です。

確かめ：$x=-1$ のときは手順 1 で確かめました。$P(2)=8-16+2+6=0$、$P(3)=27-36+3+6=0$ となり、どちらも正しいことがわかります。

$f(x)=x^3-4x^2+x+6$ とおく。$f(-1)=-1-4-1+6=0$ なので $x+1$ を因数にもつ。組立除法（割り算）により $f(x)=(x+1)(x^2-5x+6)=(x+1)(x-2)(x-3)$。よって $x=-1,2,3$。検算：$f(2)=8-16+2+6=0$、$f(3)=27-36+3+6=0$。