複素数と方程式の問題

方針 判別式が負の 2 次方程式でも、負の数の平方根を虚数単位 $i$ で表せば、解の公式で解を複素数として書くことができます。

手順 1：判別式を調べる
$x^2-4x+13=0$ は $a=1,b=-4=2\cdot (-2),c=13$ です。$b$ が偶数なので $\frac{D}{4}=b^{\prime 2}-ac$（$b^{\prime }=-2$）を使うと
$$\frac{D}{4}=(-2{)}^2-1\cdot 13=4-13=-9<0$$
となり、実数の解はありません。複素数の範囲では虚数解をもちます。

手順 2：解の公式にあてはめる
$b=2b^{\prime }$ のときの解の公式 $x=\frac{-b^{\prime }\pm \sqrt{b^{\prime 2}-ac}}{a}$ より
$$x=\frac{2\pm \sqrt{-9}}{1}=2\pm \sqrt{-9}$$

手順 3：負の数の平方根を $i$ で表す
$a>0$ のとき $\sqrt{-a}=\sqrt{a}i$ なので
$$\sqrt{-9}=\sqrt{9}i=3i$$
よって
$$x=2\pm 3i$$

（別解）平方完成で確かめる
$x^2-4x+13=(x-2{)}^2+9$ なので、方程式は $(x-2{)}^2=-9$ となります。$-9$ の平方根は $\pm 3i$ だから $x-2=\pm 3i$、すなわち $x=2\pm 3i$ です。

検算 $x=2+3i$ を代入すると、$x^2=4+12i+9i^2=4+12i-9=-5+12i$ より
$$x^2-4x+13=(-5+12i)-(8+12i)+13=0$$
となり、正しいことがわかります（$2-3i$ も同様）。

答え：$x=2+3i,2-3i$

解の公式より $x=\frac{4\pm \sqrt{16-52}}{2}=\frac{4\pm \sqrt{-36}}{2}=\frac{4\pm 6i}{2}=2\pm 3i$。検算：$x=2+3i$ のとき $x^2=4+12i-9=-5+12i$、$-4x=-8-12i$ なので和は $-5+12i-8-12i+13=0$。よって成り立つ。$x=2-3i$ も共役なので同様に成り立つ。