複素数と方程式の問題

方針 判別式が負になる 2 次方程式は、実数の範囲では解をもちません。しかし、$a>0$ のとき $\sqrt{-a}=\sqrt{a}i$ と定めると、複素数の範囲で解くことができます。

手順 1：判別式を調べる

$x^2-6x+13=0$ は $x^2+2b^{\prime }x+c=0$ の形で、$b^{\prime }=-3,c=13$ です。判別式を $D$ とすると
$$\frac{D}{4}=(-3{)}^2-1\cdot 13=9-13=-4<0$$
なので、この方程式は虚数解をもちます。

手順 2：平方完成する

$$x^2-6x+13=(x-3{)}^2-9+13=(x-3{)}^2+4$$
よって、方程式は
$$(x-3{)}^2=-4$$
となります。

手順 3：負の数の平方根を $i$ で表す

$-4$ の平方根は $\pm \sqrt{-4}=\pm \sqrt{4}i=\pm 2i$ です。したがって
$$x-3=\pm 2i$$
$$x=3\pm 2i$$

（解の公式 $x=\frac{-b^{\prime }\pm \sqrt{b^{\prime 2}-ac}}{a}$ を使っても、$x=3\pm \sqrt{-4}=3\pm 2i$ となり、同じ結果が得られます。）

確かめ $x=3+2i$ を代入すると、$i^2=-1$ より
$$(3+2i{)}^2-6(3+2i)+13=(9+12i+4i^2)-18-12i+13=(9+12i-4)-18-12i+13=0$$
となり、確かに解です。$x=3-2i$ についても同様に $0$ になります。

よって、解は $x=3+2i,3-2i$ です。

解の公式より $x=\frac{6\pm \sqrt{36-52}}{2}=\frac{6\pm \sqrt{-16}}{2}=\frac{6\pm 4i}{2}=3\pm 2i$。検算：$x=3+2i$ のとき $x^2=9+12i-4=5+12i$、$-6x=-18-12i$ なので、$5+12i-18-12i+13=0$ となり成立。$x=3-2i$ は共役なので同様に成立。よって $x=3\pm 2i$。