複素数と方程式の問題

方針 判別式が負になる 2 次方程式でも、解の公式を使い、負の数の平方根を虚数単位 $i$ で表せば、解を複素数で表せる。

手順1：判別式を調べる
$a=2,b=-2,c=5$ であるから
$$D=b^2-4ac=(-2{)}^2-4\cdot 2\cdot 5=4-40=-36<0$$
よって、この方程式は実数解をもたず、虚数解をもつ。

手順2：負の数の平方根を $i$ で表す
$k>0$ のとき $\sqrt{-k}=\sqrt{k}i$ であるから
$$\sqrt{-36}=\sqrt{36}i=6i$$

手順3：解の公式に代入する
$$x=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=\frac{-(-2)\pm \sqrt{-36}}{2\cdot 2}=\frac{2\pm 6i}{4}=\frac{1\pm 3i}{2}$$

確認 $x=\frac{1+3i}{2}$ を代入すると、$i^2=-1$ より
$$x^2=\frac{(1+3i{)}^2}{4}=\frac{1+6i+9i^2}{4}=\frac{-8+6i}{4}$$
であるから
$$2x^2-2x+5=\frac{-8+6i}{2}-(1+3i)+5=(-4+3i)-1-3i+5=0$$
となり、確かに解である（$\frac{1-3i}{2}$ も同様）。

したがって、解は $$x=\frac{1+3i}{2},\frac{1-3i}{2}$$

解の公式より $x=\frac{2\pm \sqrt{4-40}}{4}=\frac{2\pm \sqrt{-36}}{4}=\frac{2\pm 6i}{4}=\frac{1\pm 3i}{2}$。検算：解の和は $1$（係数より $2/2=1$）、積は $\frac{1+9}{4}=\frac{5}{2}$（係数より $5/2$）で一致する。