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複素数と方程式の問題

難易度 2教科書の章末問題レベル数学II 複素数と方程式

$a, b$ を実数の定数とする。 $x$ の整式 $P (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + 6$ が $x^{2} - x - 6$ で割り切れるとき， $a, b$ の値を求め，組 $(a, b)$ の形で答えよ。

この問題で使うもの

剰余の定理・因数定理と高次方程式（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（12 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

割る式 $x^{2} - x - 6$ を因数分解し，因数定理を使おう。

ヒント 2

$x^{2} - x - 6 = (x - 3) (x + 2)$ なので， $P (3) = 0$ かつ $P (- 2) = 0$ が成り立つ。

ヒント 3

$P (3) = 0$ から $3 a + b = - 11$ ， $P (- 2) = 0$ から $2 a - b = 1$ が得られる。この連立方程式を解こう。

答えと解説

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(- 2, - 5)

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解説を読む

$x^{2} - x - 6 = (x - 3) (x + 2)$ である。 $P (x)$ が $(x - 3) (x + 2)$ で割り切れるので， $P (x)$ は $x - 3$ でも $x + 2$ でも割り切れる。因数定理より
$P (3) = 0, P (- 2) = 0$
である。

$P (3) = 27 + 9 a + 3 b + 6 = 9 a + 3 b + 33 = 0$ より
$3 a + b = - 11 (1)$

$P (- 2) = - 8 + 4 a - 2 b + 6 = 4 a - 2 b - 2 = 0$ より
$2 a - b = 1 (2)$

$(1) + (2)$ より $5 a = - 10$ ，よって $a = - 2$ 。 $(2)$ に代入して $- 4 - b = 1$ ，よって $b = - 5$ 。

（確認： $P (x) = x^{3} - 2 x^{2} - 5 x + 6$ であり， $(x^{2} - x - 6) (x - 1) = x^{3} - x^{2} - 6 x - x^{2} + x + 6 = x^{3} - 2 x^{2} - 5 x + 6$ となるので，確かに $x^{2} - x - 6$ で割り切れる。）

したがって $(a, b) = (- 2, - 5)$ である。

別解

$x^{2} - x - 6 = (x - 3) (x + 2)$ なので $P (3) = 0$ かつ $P (- 2) = 0$ 。 $P (3) = 27 + 9 a + 3 b + 6 = 0$ より $3 a + b = - 11$ 。 $P (- 2) = - 8 + 4 a - 2 b + 6 = 0$ より $2 a - b = 1$ 。辺々加えて $5 a = - 10$ 、 $a = - 2$ 、 $b = 2 a - 1 = - 5$ 。検算: $P (x) = x^{3} - 2 x^{2} - 5 x + 6 = (x^{2} - x - 6) (x - 1)$ で確かに割り切れる。

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