複素数と方程式の問題

与えられた恒等式
$$(x-1)P(x+1)=(x+2)P(x)(1)$$
に特定の値を代入して、$P(x)$ の値が $0$ になる点を調べる。

$x=1$ を代入すると $0\cdot P(2)=3P(1)$ より $P(1)=0$。

$x=-2$ を代入すると $-3P(-1)=0\cdot P(-2)$ より $P(-1)=0$。

$x=0$ を代入すると $-P(1)=2P(0)$ であり、$P(1)=0$ より $P(0)=0$。

よって因数定理より、$P(x)$ は $x,x-1,x+1$ をすべて因数にもつ。したがって、ある整式 $Q(x)$ を用いて
$$P(x)=x(x-1)(x+1)Q(x)$$
と表せる。このとき
$$P(x+1)=(x+1)x(x+2)Q(x+1)$$
である。これらを $(1)$ に代入すると
$$(x-1)(x+1)x(x+2)Q(x+1)=(x+2)x(x-1)(x+1)Q(x)$$
すなわち
$$x(x-1)(x+1)(x+2)\{Q(x+1)-Q(x)\}=0$$
が恒等的に成り立つ。$x(x-1)(x+1)(x+2)$ は $0$ でない整式であるから、整式 $Q(x+1)-Q(x)$ は $0$ に等しい。よって
$$Q(x+1)=Q(x)$$
が恒等的に成り立つ。

これより $Q(0)=Q(1)=Q(2)=\cdots$ となる。$c=Q(0)$ とおくと、整式 $Q(x)-c$ は $x=0,1,2,\cdots$ の無数の値で $0$ になる。$0$ でない整式の根は有限個しかないので、$Q(x)-c$ は $0$ に等しい。よって $Q(x)=c$（定数）であり、
$$P(x)=cx(x-1)(x+1)$$
となる。

次に、剰余の定理より、$P(x)$ を $x-2$ で割った余りは $P(2)$ である。よって $P(2)=24$ となる。
$$P(2)=c\cdot 2\cdot 1\cdot 3=6c=24$$
より $c=4$ である。したがって
$$P(x)=4x(x-1)(x+1)=4x^3-4x$$
である。

（確認）$P(x+1)=4x(x+1)(x+2)$ より、$(1)$ の左辺は $4x(x-1)(x+1)(x+2)$ になる。右辺も $(x+2)\cdot 4x(x-1)(x+1)$ で、両辺は一致する。また $P(2)=32-8=24$ である。

答え: $P(x)=4x^3-4x$

恒等式に $x=1$ を代入すると $0=3P(1)$ より $P(1)=0$。$x=0$ を代入すると $-P(1)=2P(0)$ より $P(0)=0$。$x=-2$ を代入すると $-3P(-1)=0$ より $P(-1)=0$。

$P(x)$ の次数を $n$、最高次の係数を $a$、次の係数を $b$ とする（$P(x)=a{x}^n+b{x}^{n-1}+\cdots$）。$P(x+1)=a{x}^n+(an+b)x^{n-1}+\cdots$ なので、
左辺 $=(x-1)P(x+1)=a{x}^{n+1}+(an+b-a)x^n+\cdots$、右辺 $=(x+2)P(x)=a{x}^{n+1}+(b+2a)x^n+\cdots$。
$x^n$ の係数を比べると $an-a=2a$ より $n=3$（$P=0$ は余りが $24$ に反するので除く）。

よって $P(x)$ は 3 次で $P(-1)=P(0)=P(1)=0$ なので $P(x)=c(x-1)x(x+1)$（$c$ は定数）。

$P(2)=c\cdot 1\cdot 2\cdot 3=6c=24$ より $c=4$。

したがって $P(x)=4x(x-1)(x+1)=4x^3-4x$。

検算：$P(x+1)=4x(x+1)(x+2)$ なので左辺 $=4(x-1)x(x+1)(x+2)$、右辺 $=(x+2)\cdot 4(x-1)x(x+1)$ で一致する。また $P(2)=4\cdot 2\cdot 1\cdot 3=24$ で条件を満たす。