複素数と方程式の問題

$\alpha ,\beta$ は $x^2-3x+5=0$ の解であるから、解と係数の関係より
$$\alpha +\beta =3,\alpha \beta =5$$
である。

また、$\alpha$ は方程式の解なので ${\alpha }^2-3\alpha +5=0$、すなわち ${\alpha }^2=3\alpha -5$ が成り立つ。これを用いると
$${\alpha }^2-2\alpha +3=(3\alpha -5)-2\alpha +3=\alpha -2$$
となる。同様に ${\beta }^2=3\beta -5$ より
$${\beta }^2-2\beta +3=\beta -2$$
である。したがって
$$({\alpha }^2-2\alpha +3)({\beta }^2-2\beta +3)=(\alpha -2)(\beta -2)=\alpha \beta -2(\alpha +\beta )+4$$
$$=5-2\cdot 3+4=3$$

(確認) 解の公式より $\alpha ,\beta =\frac{3\pm \sqrt{11}i}{2}$ であり、$\alpha -2,\beta -2=\frac{-1\pm \sqrt{11}i}{2}$ となる。その積は $\frac{(-1{)}^2-(\sqrt{11}i{)}^2}{4}=\frac{1+11}{4}=3$ で一致する。

よって求める値は $3$ である。

解と係数の関係より $\alpha +\beta =3,\alpha \beta =5$。${\alpha }^2=3\alpha -5$ なので ${\alpha }^2-2\alpha +3=\alpha -2$。同様に ${\beta }^2-2\beta +3=\beta -2$。よって与式は $(\alpha -2)(\beta -2)=\alpha \beta -2(\alpha +\beta )+4=5-6+4=3$。検算：解は $\frac{3\pm i\sqrt{11}}{2}$ で、$\alpha -2=\frac{-1+i\sqrt{11}}{2}$、$\beta -2=\frac{-1-i\sqrt{11}}{2}$ なので積は $\frac{1+11}{4}=3$ となり一致する。