複素数と方程式の問題

$f(x)=x^3-4x+2$ とおく。解と係数の関係より
$$\alpha +\beta +\gamma =0,\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha =-4,\alpha \beta \gamma =-2$$
である。

まず $D=(\alpha -\beta {)}^2(\beta -\gamma {)}^2(\gamma -\alpha {)}^2$ を求める。

$f(0)=2\ne 0$ より $\alpha ,\beta ,\gamma$ はいずれも $0$ でない。$\alpha +\beta =-\gamma$、$\alpha \beta =\frac{-2}{\gamma }$ であるから
$$(\alpha -\beta {)}^2=(\alpha +\beta {)}^2-4\alpha \beta ={\gamma }^2+\frac{8}{\gamma }=\frac{{\gamma }^3+8}{\gamma }.$$
$\gamma$ は $f(x)=0$ の解なので ${\gamma }^3=4\gamma -2$。よって
$$(\alpha -\beta {)}^2=\frac{4\gamma +6}{\gamma }=\frac{2(2\gamma +3)}{\gamma }.$$
同様に
$$(\beta -\gamma {)}^2=\frac{2(2\alpha +3)}{\alpha },(\gamma -\alpha {)}^2=\frac{2(2\beta +3)}{\beta }.$$
したがって
$$D=\frac{8(2\alpha +3)(2\beta +3)(2\gamma +3)}{\alpha \beta \gamma }=\frac{8(2\alpha +3)(2\beta +3)(2\gamma +3)}{-2}=-4(2\alpha +3)(2\beta +3)(2\gamma +3).$$
ここで
$$\begin{array}{rl}(2\alpha +3)(2\beta +3)(2\gamma +3)& =8\alpha \beta \gamma +12(\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha )+18(\alpha +\beta +\gamma )+27\\ & =8\cdot (-2)+12\cdot (-4)+18\cdot 0+27\\ & =-16-48+27=-37.\end{array}$$
よって $D=-4\cdot (-37)=148$。

次に符号を調べる。$\alpha <\beta <\gamma$ より $\alpha -\beta <0$、$\beta -\gamma <0$、$\gamma -\alpha >0$ なので
$$(\alpha -\beta )(\beta -\gamma )(\gamma -\alpha )>0.$$
したがって
$$(\alpha -\beta )(\beta -\gamma )(\gamma -\alpha )=\sqrt{148}=2\sqrt{37}.$$

3次方程式 $x^3+px+q=0$ の判別式は $D=\{(\alpha -\beta )(\beta -\gamma )(\gamma -\alpha ){\}}^2=-4p^3-27q^2$ である。この公式を用いる。

$p=-4,q=2$ より $D=-4(-64)-27\cdot 4=256-108=148$。

(確認) 解と係数の関係は $\alpha +\beta +\gamma =0$、$\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha =-4$、$\alpha \beta \gamma =-2$。これを使った別の導出でも同じ判別式 $148$ になる。

$\alpha <\beta <\gamma$ のとき、$\alpha -\beta <0$、$\beta -\gamma <0$、$\gamma -\alpha >0$ なので積は正である。

よって $(\alpha -\beta )(\beta -\gamma )(\gamma -\alpha )=\sqrt{148}=2\sqrt{37}$。