複素数と方程式の問題

基本対称式で表す

$p=x+y+z,q=xy+yz+zx,r=xyz$ とおく。$p=3$ であり、
$$q=\frac{(x+y+z{)}^2-(x^2+y^2+z^2)}{2}=\frac{9-9}{2}=0$$
である。解と係数の関係より、$x,y,z$ は $t$ の 3 次方程式
$$t^3-3t^2-r=0$$
の 3 つの解である。よって $x,y,z$ のどれも $t^3=3t^2+r$ を満たす。

$x^5+y^5+z^5$ を $r$ で表す

$S_n=x^n+y^n+z^n$ とおく。$t^3=3t^2+r$ の両辺に $t^{n-3}$ を掛けて $t^n=3t^{n-1}+r{t}^{n-3}$ $(n\geqq 3)$ となり、$t=x,y,z$ について足すと
$$S_n=3S_{n-1}+r{S}_{n-3}(n\geqq 3)$$
である。$S_0=3,S_1=3,S_2=9$ から
$$S_3=3\cdot 9+3r=27+3r$$
$$S_4=3(27+3r)+3r=81+12r$$
$$S_5=3(81+12r)+9r=243+45r$$
となる。よって $r=xyz$ の最小値を求めればよい。

$r$ のとりうる範囲

$z$ を固定すると $x+y=3-z$ であり、$q=0$ より
$$xy=-z(x+y)=-z(3-z)=z^2-3z$$
である。$x,y$ は $t^2-(3-z)t+(z^2-3z)=0$ の 2 つの解なので、$x,y$ が実数である条件は判別式が $0$ 以上であること:
$$(3-z{)}^2-4(z^2-3z)=-3z^2+6z+9=-3(z+1)(z-3)\geqq 0$$
すなわち $-1\leqq z\leqq 3$ である。逆に $-1\leqq z\leqq 3$ のとき、この 2 次方程式の実数解を $x,y$ とすれば条件を満たす。

このとき
$$r=xyz=z(z^2-3z)=z^3-3z^2$$
であり、
$$z^3-3z^2+4=(z+1)(z-2{)}^2\geqq 0(z\geqq -1\text{ のとき})$$
より $r\geqq -4$。等号は $z=-1$ または $z=2$ のときに成り立ち、たとえば $z=-1$ のとき $x+y=4,xy=4$ より $x=y=2$ となって実際に実現できる。

よって $r$ の最小値は $-4$ であり、$S_5=243+45r$ は $r$ について増加するので、最小値は
$$243+45\cdot (-4)=63$$
である。

（確認: $(x,y,z)=(2,2,-1)$ のとき $x+y+z=3$, $x^2+y^2+z^2=4+4+1=9$, $x^5+y^5+z^5=32+32-1=63$。）

答えは $63$。

基本対称式を $e_1=x+y+z=3,e_2=xy+yz+zx,e_3=xyz=t$ とおく。$x^2+y^2+z^2=e_1^2-2e_2$ より $9=9-2e_2$ なので $e_2=0$。

べき和 $p_k=x^k+y^k+z^k$ について、各解は $u^3-e_1{u}^2+e_{2}u-e_3=0$ すなわち $u^3=3u^2+t$ を満たすので、$u^{k+3}=3u^{k+2}+t{u}^k$。よって $p_{k+3}=3p_{k+2}+t{p}_k$。
$p_0=3,p_1=3,p_2=9$ より
$p_3=3p_2+t{p}_0=27+3t$,
$p_4=3p_3+t{p}_1=81+9t+3t=81+12t$,
$p_5=3p_4+t{p}_2=243+36t+9t=243+45t$。

$x,y,z$ が実数となる $t$ の範囲を求める。$x,y,z$ は $g(u)=u^3-3u^2=t$ の 3 つの実数解（重複を含む）である。$g^{\prime }(u)=3u(u-2)$ より $g$ は $u=0$ で極大値 $0$、$u=2$ で極小値 $-4$ をとる。3 つの実数解をもつ条件は $-4\le t\le 0$。

$p_5=243+45t$ は $t$ について増加するので、$t=-4$ のとき最小で $243-180=63$。

検算: $t=-4$ のとき $u^3-3u^2+4=(u-2{)}^2(u+1)=0$ より $(x,y,z)=(2,2,-1)$。和は $3$、平方和は $4+4+1=9$ ✓。$x^5+y^5+z^5=32+32-1=63$ ✓。（参考: $t=0$ では $(3,0,0)$ で $243$。）

よって最小値は $63$。