三角関数の問題

条件の言いかえ　一般角で考えると、角 $n$ の動径が第 $4$ 象限にあるのは、ある整数 $k$ を用いて
$$\frac{3}{2}\pi +2k\pi <n<2\pi +2k\pi$$
すなわち
$$\left(2k+\frac{3}{2}\right)\pi <n<(2k+2)\pi$$
が成り立つときである（両端は座標軸上なので含めない）。$1\leqq n\leqq 30$ より $k\geqq 0$ であり、$k\geqq 5$ のとき $\left(2k+\frac{3}{2}\right)\pi \geqq \frac{23}{2}\pi >\frac{23}{2}\cdot 3.141>36>30$ なので、$k=0,1,2,3,4$ を調べればよい。

$3.141<\pi <3.142$ を使って、各 $k$ について両端の値を評価する。

• $k=0$：$4.7115<\frac{3}{2}\pi <4.713$、$6.282<2\pi <6.284$。よって $n=5,6$。
• $k=1$：$10.9935<\frac{7}{2}\pi <10.997$、$12.564<4\pi <12.568$。よって $n=11,12$。
• $k=2$：$17.2755<\frac{11}{2}\pi <17.281$、$18.846<6\pi <18.852$。よって $n=18$。
• $k=3$：$23.5575<\frac{15}{2}\pi <23.565$、$25.128<8\pi <25.136$。よって $n=24,25$。
• $k=4$：$29.8395<\frac{19}{2}\pi <29.849$、$31.41<10\pi <31.42$。よって $1\leqq n\leqq 30$ では $n=30$。

特に $n=11$ は $\frac{7}{2}\pi$ とたいへん近い（$\frac{7}{2}\pi <11⟺\pi <\frac{22}{7}=3.1428\cdots$）ので、$\pi <3.142$ という精度の評価が必要になる。$\pi <3.142$ より $\frac{7}{2}\pi <10.997<11$ なので、角 $11$ の動径は第 $4$ 象限にある。

どの $k$ の範囲にも入らない $n$ は、動径が第 $4$ 象限にない。以上より、求める $n$ は
$$n=5,6,11,12,18,24,25,30$$
の $8$ 個である。

動径が第 $4$ 象限にあるのは、整数 $k$ を用いて $2k\pi +\frac{3\pi }{2}<n<2(k+1)\pi$、すなわち $\left(2k+\frac{3}{2}\right)\pi <n<(2k+2)\pi$ のとき（端は座標軸上なので含まない）。$3.141<\pi <3.142$ を用いて $k=0,1,2,3,4$ について調べる（$n\leqq 30$ なので $k\leqq 4$ まで）。

$k=0$: $1.5\pi <n<2\pi$。$1.5\pi$ は $4.711\sim 4.713$、$2\pi$ は $6.282\sim 6.284$ なので $n=5,6$。（2 個）

$k=1$: $3.5\pi <n<4\pi$。$3.5\pi$ は $10.9935\sim 10.997$、$4\pi$ は $12.564\sim 12.568$ なので $n=11,12$。（2 個）

$k=2$: $5.5\pi <n<6\pi$。$5.5\pi$ は $17.2755\sim 17.281$、$6\pi$ は $18.846\sim 18.852$ なので $n=18$。（1 個）

$k=3$: $7.5\pi <n<8\pi$。$7.5\pi$ は $23.5575\sim 23.565$、$8\pi$ は $25.128\sim 25.136$ なので $n=24,25$。（2 個）

$k=4$: $9.5\pi <n<10\pi$。$9.5\pi$ は $29.8395\sim 29.849$、$10\pi$ は $31.41\sim 31.42$ なので $n=30$。（1 個）

$k=5$ では $11.5\pi >36$ なので範囲外。いずれの境界も $\pi$ の評価の幅（$3.141<\pi <3.142$）で整数との大小が変わらないことを確認した。

該当する $n$ は $5,6,11,12,18,24,25,30$ の $8$ 個。

検算（$\pi \approx 3.14159$）: $n-2k\pi$ を計算すると $n=5$: $5$、$n=6$: $6$、$n=11$: $11-6.283=4.717$、$n=12$: $5.717$、$n=18$: $18-12.566=5.434$、$n=24$: $24-18.850=5.150$、$n=25$: $6.150$、$n=30$: $30-25.133=4.867$。すべて $4.712\sim 6.283$ に入っている。除外した $n$ の例: $n=17$: $17-12.566=4.434$（第 $3$ 象限）、$n=23$: $4.150$、$n=29$: $3.867$、$n=4$, $7$ ($0.717$), $10$ ($3.717$) などは第 $4$ 象限でない。