ベクトルの問題

上からの評価

大きさ $1$ のベクトル $\vec{e}$ を 1 つ固定する。各 $\vec{v}=\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ について、$\vec{v}\cdot \vec{e}\geqq 0$ なら $\epsilon =1$、$\vec{v}\cdot \vec{e}<0$ なら $\epsilon =-1$ と符号を選ぶと、$|\vec{v}\cdot \vec{e}|=\epsilon \vec{v}\cdot \vec{e}$ となる。こうして選んだ符号を ${\epsilon }_1,{\epsilon }_2,{\epsilon }_3$ とすると
$$F=({\epsilon }_1\vec{a}+{\epsilon }_2\vec{b}+{\epsilon }_3\vec{c})\cdot \vec{e}\leqq |{\epsilon }_1\vec{a}+{\epsilon }_2\vec{b}+{\epsilon }_3\vec{c}||\vec{e}|=|{\epsilon }_1\vec{a}+{\epsilon }_2\vec{b}+{\epsilon }_3\vec{c}|$$
である（内積の性質 $\vec{p}\cdot \vec{q}\leqq |\vec{p}||\vec{q}|$ を用いた）。

符号の組は全部で $8$ 通りあるが、全体の符号を反転しても大きさは変わらないので、次の $4$ 通りを調べればよい。
$$\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=(2,1),|\cdot {|}^2=5$$
$$\vec{a}+\vec{b}-\vec{c}=(6,-3),|\cdot {|}^2=45$$
$$\vec{a}-\vec{b}+\vec{c}=(0,5),|\cdot {|}^2=25$$
$$\vec{a}-\vec{b}-\vec{c}=(4,1),|\cdot {|}^2=17$$
よって、どの $\vec{e}$ についても $F\leqq \sqrt{45}=3\sqrt{5}$ である。

等号が成り立つこと

$\vec{a}+\vec{b}-\vec{c}=(6,-3)$ と同じ向きの単位ベクトル $\vec{e}=\frac{1}{\sqrt{5}}(2,-1)$ をとると
$$\vec{a}\cdot \vec{e}=\frac{6-1}{\sqrt{5}}=\frac{5}{\sqrt{5}},\vec{b}\cdot \vec{e}=\frac{2+2}{\sqrt{5}}=\frac{4}{\sqrt{5}},\vec{c}\cdot \vec{e}=\frac{-4-2}{\sqrt{5}}=-\frac{6}{\sqrt{5}}$$
となり、符号は $(+,+,-)$ で $\vec{a}+\vec{b}-\vec{c}$ の符号と一致する。したがって
$$F=\frac{5+4+6}{\sqrt{5}}=\frac{15}{\sqrt{5}}=3\sqrt{5}$$

以上より、$F$ の最大値は $3\sqrt{5}$ である。

$|\vec{p}\cdot \vec{e}|=\max (\vec{p}\cdot \vec{e},-\vec{p}\cdot \vec{e})$ なので、
$F={\max }_{{\epsilon }_i=\pm 1}({\epsilon }_1\vec{a}+{\epsilon }_2\vec{b}+{\epsilon }_3\vec{c})\cdot \vec{e}$。

したがって $|\vec{e}|=1$ の範囲で $F$ の最大値は、$\vec{v}={\epsilon }_1\vec{a}+{\epsilon }_2\vec{b}+{\epsilon }_3\vec{c}$ の大きさの最大値に等しい（各 $\vec{v}$ について $\vec{v}\cdot \vec{e}\le |\vec{v}|$ で、等号は $\vec{e}=\vec{v}/|\vec{v}|$ のとき成り立つ。また $F\ge \vec{v}\cdot \vec{e}$ なので $\max F\ge \max |\vec{v}|$、逆に $F$ はある $\vec{v}$ について $\vec{v}\cdot \vec{e}$ に等しいので $F\le \max |\vec{v}|$）。

全体の符号反転は大きさを変えないので 4 通りを調べる。
- $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=(2,1)$、大きさの2乗 $5$
- $\vec{a}+\vec{b}-\vec{c}=(6,-3)$、大きさの2乗 $45$
- $\vec{a}-\vec{b}+\vec{c}=(0,5)$、大きさの2乗 $25$
- $\vec{a}-\vec{b}-\vec{c}=(4,1)$、大きさの2乗 $17$

最大は $\sqrt{45}=3\sqrt{5}$。

検算：$\vec{e}=(6,-3)/\sqrt{45}=(2,-1)/\sqrt{5}$。$\vec{a}\cdot \vec{e}=5/\sqrt{5}$、$\vec{b}\cdot \vec{e}=4/\sqrt{5}$、$\vec{c}\cdot \vec{e}=-6/\sqrt{5}$。$F=(5+4+6)/\sqrt{5}=15/\sqrt{5}=3\sqrt{5}$。一致する。

答え $3\sqrt{5}$。