ベクトルの問題

原点を $\mathrm{O}$ とし、点 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{P}$ の位置ベクトルをそれぞれ $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{p}$ とします。

点の座標と位置ベクトルの成分は同じなので
$$\vec{a}=(-1,4),\vec{b}=(5,1)$$
です。

線分 $\mathrm{AB}$ を $m:n$ に外分する点の位置ベクトルは
$$\vec{p}=\frac{-n\vec{a}+m\vec{b}}{m-n}$$
で表されます（内分の公式で $n$ を $-n$ に置きかえた形）。

$m=2$, $n=1$ を代入すると
$$\vec{p}=\frac{-1\cdot \vec{a}+2\vec{b}}{2-1}=-\vec{a}+2\vec{b}$$
となります。

成分で計算します。$-\vec{a}=(1,-4)$, $2\vec{b}=(10,2)$ なので
$$\vec{p}=(1+10,-4+2)=(11,-2)$$
です。

したがって、点 $\mathrm{P}$ の座標は $(11,-2)$ です。

（確かめ）$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=(6,-3)$, $\overrightarrow{\mathrm{AP}}=(12,-6)=2\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ なので、$\mathrm{P}$ は $\mathrm{B}$ の先にあり $\mathrm{AP}:\mathrm{PB}=2:1$ となっています。

線分 $\mathrm{AB}$ を $m:n$ に外分する点の座標は $\left(\frac{-n{x}_1+m{x}_2}{m-n},\frac{-n{y}_1+m{y}_2}{m-n}\right)$ である。$m=2,n=1$ とし、$\mathrm{A}(-1,4)$, $\mathrm{B}(5,1)$ を代入する。
$x=\frac{-1\cdot (-1)+2\cdot 5}{2-1}=1+10=11$
$y=\frac{-1\cdot 4+2\cdot 1}{2-1}=-4+2=-2$
よって $\mathrm{P}(11,-2)$。
検算：$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=(12,-6)$, $\overrightarrow{\mathrm{AB}}=(6,-3)$ より $\overrightarrow{\mathrm{AP}}=2\overrightarrow{\mathrm{AB}}$。したがって $\mathrm{AP}:\mathrm{PB}=2:1$ で、P は B の先にあり外分点になっている。