ベクトルの問題

原点 $\mathrm{O}$ に関する位置ベクトルを $\vec{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$, $\vec{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$, $\vec{q}=\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$ とします。成分で書くと
$$\vec{a}=(1,4),\vec{b}=(3,2)$$
です。

外分点の公式 線分 $\mathrm{AB}$ を $m:n$ に外分する点の位置ベクトルは
$$\frac{-n\vec{a}+m\vec{b}}{m-n}$$
です（内分点の公式 $\frac{n\vec{a}+m\vec{b}}{m+n}$ の $n$ を $-n$ に置きかえたもの）。

今回は $m=3$, $n=1$ なので
$$\vec{q}=\frac{-1\cdot \vec{a}+3\vec{b}}{3-1}=\frac{-\vec{a}+3\vec{b}}{2}$$

成分を代入して計算する
$$-\vec{a}+3\vec{b}=-(1,4)+3(3,2)=(-1,-4)+(9,6)=(8,2)$$
よって
$$\vec{q}=\frac{1}{2}(8,2)=(4,1)$$

原点に関する位置ベクトルの成分はその点の座標と一致するので、$\mathrm{Q}(4,1)$ です。

（確認）$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=(2,-2)$, $\overrightarrow{\mathrm{AQ}}=(3,-3)=\frac{3}{2}\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ なので、$\mathrm{Q}$ は $\mathrm{B}$ の先にあり、$\mathrm{AQ}:\mathrm{QB}=\frac{3}{2}:\frac{1}{2}=3:1$ となっています。

答え: $(4,1)$

線分 AB を $3:1$ に外分する点 Q の位置ベクトルは $\overrightarrow{OQ}=\frac{-1\cdot \overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}}{3-1}=\frac{3\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}}{2}$ である。
$3\overrightarrow{OB}=(9,6)$, $\overrightarrow{OA}=(1,4)$ より $3\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=(8,2)$。2 で割って $\overrightarrow{OQ}=(4,1)$。
検算: $\overrightarrow{AQ}=(3,-3)$, $\overrightarrow{BQ}=(1,-1)$ なので $\overrightarrow{AQ}=3\overrightarrow{BQ}$ となり、AQ:BQ=3:1 で Q は AB の延長上（B の外側）にある。よって Q$(4,1)$。