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ベクトルの問題

難易度 1教科書の例題レベル数学C ベクトル

座標平面上に 3 点 $A (1, 2)$ , $B (4, 3)$ , $C (2, 6)$ がある。 $△ ABC$ の面積 $S$ を求めよ。

A (1, 2)

B (4, 3)

C (2, 6)

x

y

O

この問題で使うもの

ベクトルと面積・体積（説明と入口の問題）
ベクトルの演算と成分（説明と入口の問題）
内積となす角（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（33 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

三角形の 1 つの頂点 A から出る 2 つのベクトル $AB$ , $AC$ を使い、面積の公式 $S = \frac{1}{2} ∣ a ∣^{2} ∣ b ∣^{2} - (a \cdot b)^{2}$ を使おう。

ヒント 2

$AB = (3, 1)$ , $AC = (1, 4)$ である。それぞれの大きさの 2 乗と内積を成分で計算しよう。

ヒント 3

$∣ AB ∣^{2} = 10$ , $∣ AC ∣^{2} = 17$ , $AB \cdot AC = 7$ なので、根号の中は $10 \times 17 - 7^{2}$ になる。

答えと解説

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\frac{11}{2}

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解説を読む

$a = AB$ , $b = AC$ とおくと、 $△ ABC$ の面積は
$S = \frac{1}{2} ∣ a ∣^{2} ∣ b ∣^{2} - (a \cdot b)^{2}$
で求められる。

手順 1: ベクトルを成分で表す。
$a = AB = (4 - 1, 3 - 2) = (3, 1), b = AC = (2 - 1, 6 - 2) = (1, 4)$

手順 2: 大きさの 2 乗と内積を計算する。
$∣ a ∣^{2} = 3^{2} + 1^{2} = 10, ∣ b ∣^{2} = 1^{2} + 4^{2} = 17$
$a \cdot b = 3 \times 1 + 1 \times 4 = 7$

手順 3: 公式に代入する。
$∣ a ∣^{2} ∣ b ∣^{2} - (a \cdot b)^{2} = 10 \times 17 - 7^{2} = 170 - 49 = 121$
よって
$S = \frac{1}{2} 121 = \frac{1}{2} \times 11 = \frac{11}{2}$

（参考）平面のベクトル $a = (a_{1}, a_{2})$ , $b = (b_{1}, b_{2})$ では $S = \frac{1}{2} ∣ a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} ∣$ とも書け、 $\frac{1}{2} ∣3 \times 4 - 1 \times 1∣ = \frac{11}{2}$ となって一致する。

答え: $S = \frac{11}{2}$

別解

$A B = (3, 1)$ , $A C = (1, 4)$ より、 $S = \frac{1}{2} ∣3 \cdot 4 - 1 \cdot 1∣ = \frac{11}{2}$ 。検算：シューレース公式で、 $1 \cdot 3 - 4 \cdot 2 = - 5$ 、 $4 \cdot 6 - 2 \cdot 3 = 18$ 、 $2 \cdot 2 - 1 \cdot 6 = - 2$ で和は $11$ 、よって面積は $\frac{11}{2}$ 。これは一致する。

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