ベクトルの問題

2 つのベクトル $\vec{a}$, $\vec{b}$ が作る三角形の面積は、次の公式で求められます。
$$S=\frac{1}{2}\sqrt{|\vec{a}{|}^2|\vec{b}{|}^2-(\vec{a}\cdot \vec{b}{)}^2}$$

手順 1: 2 辺のベクトルを成分で表す。
$$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=(2-1,3-1,1-0)=(1,2,1)$$
$$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=(3-1,1-1,2-0)=(2,0,2)$$

手順 2: 大きさの 2 乗と内積を計算する。
$$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}{|}^2=1^2+2^2+1^2=6$$
$$|\overrightarrow{\mathrm{AC}}{|}^2=2^2+0^2+2^2=8$$
$$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=1\cdot 2+2\cdot 0+1\cdot 2=4$$

手順 3: 公式に代入する。
$$S=\frac{1}{2}\sqrt{6\cdot 8-4^2}=\frac{1}{2}\sqrt{48-16}=\frac{1}{2}\sqrt{32}=\frac{1}{2}\cdot 4\sqrt{2}=2\sqrt{2}$$

（参考）この公式は、$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ と $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ のなす角を $\theta$ として $S=\frac{1}{2}|\overrightarrow{\mathrm{AB}}||\overrightarrow{\mathrm{AC}}|\sin \theta$ に $\sin \theta =\sqrt{1-{\cos }^2\theta }$ と $\cos \theta =\frac{\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}}{|\overrightarrow{\mathrm{AB}}||\overrightarrow{\mathrm{AC}}|}$ を代入して得られます。空間でも平面と同じように使えます。

よって $S=2\sqrt{2}$ です。

$\overrightarrow{AB}=(1,2,1)$, $\overrightarrow{AC}=(2,0,2)$ である。
$|\overrightarrow{AB}{|}^2=1+4+1=6$, $|\overrightarrow{AC}{|}^2=4+0+4=8$, $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=2+0+2=4$。
$S=\frac{1}{2}\sqrt{|\overrightarrow{AB}{|}^2|\overrightarrow{AC}{|}^2-(\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}{)}^2}=\frac{1}{2}\sqrt{48-16}=\frac{1}{2}\sqrt{32}=\frac{1}{2}\cdot 4\sqrt{2}=2\sqrt{2}$。
検算：外積 $\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=(2\cdot 2-1\cdot 0,1\cdot 2-1\cdot 2,1\cdot 0-2\cdot 2)=(4,0,-4)$ で、大きさは $4\sqrt{2}$、その半分は $2\sqrt{2}$ となり一致する。