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ベクトルの問題

難易度 1教科書の例題レベル数学C ベクトル

座標空間に 3 点 $A (1, 2, 0)$ , $B (3, 1, 2)$ , $C (2, 4, 1)$ がある。 $△ ABC$ の面積を求めよ。

x

y

z

A (1, 2, 0)

B (3, 1, 2)

C (2, 4, 1)

図は正確とは限りません

この問題で使うもの

ベクトルと面積・体積（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（33 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

ベクトルを使った三角形の面積の公式 $S = \frac{1}{2} ∣ a ∣^{2} ∣ b ∣^{2} - (a \cdot b)^{2}$ を使う。 $a = AB$ , $b = AC$ とおこう。

ヒント 2

$AB$ , $AC$ を成分で求め、 $∣ a ∣^{2}$ , $∣ b ∣^{2}$ , $a \cdot b$ の 3 つを計算する。

ヒント 3

$a = (2, - 1, 2)$ , $b = (1, 2, 1)$ より、 $∣ a ∣^{2} = 9$ , $∣ b ∣^{2} = 6$ , $a \cdot b = 2$ となる。あとは公式に代入する。

答えと解説

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\frac{5 2}{2}

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解説を読む

$a = AB$ , $b = AC$ とおくと、 $△ ABC$ の面積 $S$ は
$S = \frac{1}{2} ∣ a ∣^{2} ∣ b ∣^{2} - (a \cdot b)^{2}$
で求められる。この公式は空間のベクトルでもそのまま使える。

手順 1：2 辺のベクトルを成分で表す。
$a = AB = (3 - 1, 1 - 2, 2 - 0) = (2, - 1, 2)$
$b = AC = (2 - 1, 4 - 2, 1 - 0) = (1, 2, 1)$

手順 2：大きさの 2 乗と内積を計算する。
$∣ a ∣^{2} = 2^{2} + (- 1)^{2} + 2^{2} = 9$
$∣ b ∣^{2} = 1^{2} + 2^{2} + 1^{2} = 6$
$a \cdot b = 2 \cdot 1 + (- 1) \cdot 2 + 2 \cdot 1 = 2$

手順 3：公式に代入する。
$S = \frac{1}{2} 9 \cdot 6 - 2^{2} = \frac{1}{2} 50 = \frac{1}{2} \cdot 52 = \frac{5 2}{2}$

よって、面積は $\frac{5 2}{2}$ である。

別解

$A B = (2, - 1, 2)$ , $A C = (1, 2, 1)$ 。 $∣ A B ∣^{2} = 4 + 1 + 4 = 9$ , $∣ A C ∣^{2} = 1 + 4 + 1 = 6$ , $A B \cdot A C = 2 - 2 + 2 = 2$ 。面積は $\frac{1}{2} 9 \cdot 6 - 2^{2} = \frac{1}{2} 50 = \frac{5 2}{2}$ 。検算：外積は $(- 1 \cdot 1 - 2 \cdot 2, 2 \cdot 1 - 2 \cdot 1, 2 \cdot 2 - (- 1) \cdot 1) = (- 5, 0, 5)$ 、大きさ $52$ 、その半分で $\frac{5 2}{2}$ となり一致する。

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