ベクトルの問題

三角形の 2 辺を表すベクトルを $\vec{a}$, $\vec{b}$ とすると、三角形の面積は
$$S=\frac{1}{2}\sqrt{|\vec{a}{|}^2|\vec{b}{|}^2-(\vec{a}\cdot \vec{b}{)}^2}$$
で求められる。

1. 2 辺のベクトルを成分で表す

$\vec{a}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}$, $\vec{b}=\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ とおくと
$$\vec{a}=(2-1,1-0,1-1)=(1,1,0)$$
$$\vec{b}=(1-1,2-0,3-1)=(0,2,2)$$

2. 大きさの 2 乗と内積を計算する
$$|\vec{a}{|}^2=1^2+1^2+0^2=2$$
$$|\vec{b}{|}^2=0^2+2^2+2^2=8$$
$$\vec{a}\cdot \vec{b}=1\cdot 0+1\cdot 2+0\cdot 2=2$$

3. 公式に代入する
$$S=\frac{1}{2}\sqrt{2\cdot 8-2^2}=\frac{1}{2}\sqrt{12}=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{3}=\sqrt{3}$$

よって $S=\sqrt{3}$ である。

$\overrightarrow{AB}=(1,1,0)$, $\overrightarrow{AC}=(0,2,2)$。
$|\overrightarrow{AB}{|}^2=2$, $|\overrightarrow{AC}{|}^2=8$, $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=0+2+0=2$。
$S=\frac{1}{2}\sqrt{|\overrightarrow{AB}{|}^2|\overrightarrow{AC}{|}^2-(\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}{)}^2}=\frac{1}{2}\sqrt{16-4}=\frac{1}{2}\sqrt{12}=\sqrt{3}$。
検算: 外積 $\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=(1\cdot 2-0\cdot 2,0\cdot 0-1\cdot 2,1\cdot 2-1\cdot 0)=(2,-2,2)$、大きさ $\sqrt{12}=2\sqrt{3}$、半分で $\sqrt{3}$。一致する。