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ベクトルの問題

難易度 1教科書の例題レベル数学C ベクトル

座標平面上の 2 つのベクトル $a = (3, - 2)$ , $b = (1, 8)$ がある。ベクトル $2 a - b$ の大きさ $∣2 a - b ∣$ を求めよ。

x

y

O

a

b

この問題で使うもの

ベクトルの演算と成分（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（25 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

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ヒント

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ヒント 1

ベクトルの演算（実数倍・差）を成分で計算し、最後に成分から大きさを求めます。

ヒント 2

実数倍は $k (a_{1}, a_{2}) = (k a_{1}, k a_{2})$ 、差は $(a_{1}, a_{2}) - (b_{1}, b_{2}) = (a_{1} - b_{1}, a_{2} - b_{2})$ 、大きさは $∣ (p_{1}, p_{2}) ∣ = p_{1}^{2} + p_{2}^{2}$ です。

ヒント 3

$2 a = (6, - 4)$ なので、 $2 a - b = (6 - 1, - 4 - 8) = (5, - 12)$ です。あとはこの大きさを計算します。

答えと解説

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13

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解説を読む

ベクトルの実数倍・差は成分ごとに計算し、大きさは成分から三平方の定理で求めます。

手順 1: 実数倍を計算する

実数倍は各成分をその数倍します。
$2 a = 2 (3, - 2) = (2 \times 3, 2 \times (- 2)) = (6, - 4)$

手順 2: 差を計算する

差は成分どうしを引きます。
$2 a - b = (6, - 4) - (1, 8) = (6 - 1, - 4 - 8) = (5, - 12)$

手順 3: 大きさを求める

$p = (p_{1}, p_{2})$ の大きさは $∣ p ∣ = p_{1}^{2} + p_{2}^{2}$ です。
$∣2 a - b ∣ = 5^{2} + (- 12)^{2} = 25 + 144 = 169 = 13$

よって、答えは $13$ です。

別解

$2 a = (6, - 4)$ なので $2 a - b = (6 - 1, - 4 - 8) = (5, - 12)$ 。よって $∣2 a - b ∣ = 5^{2} + (- 12)^{2} = 25 + 144 = 169 = 13$ 。検算： $5^{2} + 1 2^{2} = 1 3^{2}$ は有名なピタゴラス数の組であり、一致する。

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