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ベクトルの問題

難易度 1教科書の例題レベル数学C ベクトル

$a = (2, 1)$ , $b = (1, - 2)$ とする。ベクトル $2 a - b$ の大きさ $∣2 a - b ∣$ を求めよ。

O

x

y

a

b

この問題で使うもの

ベクトルの演算と成分（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（25 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

ベクトルの実数倍・差を成分で計算し、できたベクトルの大きさを成分から求めます。

ヒント 2

成分では $k (a_{1}, a_{2}) = (k a_{1}, k a_{2})$ 、 $(a_{1}, a_{2}) - (b_{1}, b_{2}) = (a_{1} - b_{1}, a_{2} - b_{2})$ 、大きさは $∣ (p_{1}, p_{2}) ∣ = p_{1}^{2} + p_{2}^{2}$ です。

ヒント 3

$2 a = (4, 2)$ なので、 $2 a - b = (4 - 1, 2 - (- 2))$ を計算し、その大きさを求めます。

答えと解説

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5

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手順1：実数倍を成分で計算する。

ベクトルの実数倍は、各成分をそれぞれ実数倍すればよいので
$2 a = 2 (2, 1) = (2 \times 2, 2 \times 1) = (4, 2)$

手順2：差を成分で計算する。

ベクトルの差は、 $x$ 成分どうし、 $y$ 成分どうしをそれぞれ引けばよいので
$2 a - b = (4, 2) - (1, - 2) = (4 - 1, 2 - (- 2)) = (3, 4)$

手順3：大きさを求める。

$p = (p_{1}, p_{2})$ の大きさは $∣ p ∣ = p_{1}^{2} + p_{2}^{2}$ である（三平方の定理）。よって
$∣2 a - b ∣ = 3^{2} + 4^{2} = 9 + 16 = 25 = 5$

したがって、求める大きさは $5$ である。

別解

$2 a = (4, 2)$ より $2 a - b = (4 - 1, 2 - (- 2)) = (3, 4)$ 。よって $∣2 a - b ∣ = 3^{2} + 4^{2} = 25 = 5$ 。検算： $∣2 a - b ∣^{2} = 4∣ a ∣^{2} - 4 a \cdot b + ∣ b ∣^{2} = 4 \cdot 5 - 4 \cdot 0 + 5 = 25$ （ $a \cdot b = 2 - 2 = 0$ ）なので 5 となり一致する。

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