ベクトルの問題

内積の定義 $\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta$ を $\cos \theta$ について解くと
$$\cos \theta =\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$$
となる。右辺の内積と大きさを成分で計算すればよい。

手順 1：内積を成分で計算する。
$\vec{a}=(a_1,a_2)$, $\vec{b}=(b_1,b_2)$ のとき $\vec{a}\cdot \vec{b}=a_1{b}_1+a_2{b}_2$ であるから
$$\vec{a}\cdot \vec{b}=2\times (-3)+1\times 1=-6+1=-5$$

手順 2：大きさを計算する。
$$|\vec{a}|=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5},|\vec{b}|=\sqrt{(-3{)}^2+1^2}=\sqrt{10}$$

手順 3：$\cos \theta$ を求める。
$$\cos \theta =\frac{-5}{\sqrt{5}\times \sqrt{10}}=\frac{-5}{\sqrt{50}}=\frac{-5}{5\sqrt{2}}=-\frac{1}{\sqrt{2}}$$

手順 4：角を決める。
$0\le \theta \le \pi$ の範囲で $\cos \theta =-\frac{1}{\sqrt{2}}$ となる $\theta$ はただ 1 つで
$$\theta =\frac{3}{4}\pi$$
内積が負なので、なす角は鈍角になっていることも確かめられる。

内積は $\vec{a}\cdot \vec{b}=2\cdot (-3)+1\cdot 1=-5$。大きさは $|\vec{a}|=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$、$|\vec{b}|=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}$。よって $\cos \theta =\frac{-5}{\sqrt{5}\sqrt{10}}=\frac{-5}{\sqrt{50}}=\frac{-5}{5\sqrt{2}}=-\frac{1}{\sqrt{2}}$。$0\le \theta \le \pi$ より $\theta =\frac{3}{4}\pi$。検算：$\vec{a}$ の偏角は $\arctan (1/2)\approx 26.57^{\circ }$、$\vec{b}$ の偏角は $180^{\circ }-\arctan (1/3)\approx 180^{\circ }-18.43^{\circ }=161.57^{\circ }$。差は $135^{\circ }$ で $\frac{3}{4}\pi$ と一致する。