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ベクトルの問題

難易度 1教科書の例題レベル数学C ベクトル

座標平面上の 2 つのベクトル $a = (2, - 1)$ , $b = (- 1, 3)$ のなす角 $θ$ を求めよ。ただし、 $0 \leq θ \leq π$ とする。

x

y

O

a

b

θ

この問題で使うもの

内積となす角（説明と入口の問題）
ベクトルの演算と成分（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（32 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

内積の 2 つの表し方「成分による計算 $a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2}$ 」と「 $∣ a ∣∣ b ∣ cos θ$ 」を使います。

ヒント 2

$cos θ = \frac{a \cdot b}{∣ a ∣∣ b ∣}$ を計算します。そのために $a \cdot b$ , $∣ a ∣$ , $∣ b ∣$ を成分から求めましょう。

ヒント 3

$a \cdot b = - 5$ , $∣ a ∣ = 5$ , $∣ b ∣ = 10$ です。これらを代入して $cos θ$ を求め、 $0 \leq θ \leq π$ で角を決めます。

答えと解説

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\frac{3}{4} π

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解説を読む

内積の 2 通りの表し方を使います。

手順 1：成分で内積を計算する。
$a = (a_{1}, a_{2})$ , $b = (b_{1}, b_{2})$ のとき $a \cdot b = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2}$ なので、
$a \cdot b = 2 \times (- 1) + (- 1) \times 3 = - 2 - 3 = - 5$

手順 2：それぞれの大きさを求める。
$∣ a ∣ = 2^{2} + (- 1)^{2} = 5, ∣ b ∣ = (- 1)^{2} + 3^{2} = 10$

手順 3： $a \cdot b = ∣ a ∣∣ b ∣ cos θ$ から $cos θ$ を求める。
$cos θ = \frac{a \cdot b}{∣ a ∣∣ b ∣} = \frac{- 5}{5 \times 10} = \frac{- 5}{50} = \frac{- 5}{5 2} = - \frac{1}{2}$

手順 4：角を求める。
$0 \leq θ \leq π$ の範囲で $cos θ = - \frac{1}{2}$ となるのは
$θ = \frac{3}{4} π$
です。（内積が負なので、なす角は鈍角になっていることも確かめられます。）

別解

内積は $a \cdot b = 2 \cdot (- 1) + (- 1) \cdot 3 = - 2 - 3 = - 5$ 。大きさは $∣ a ∣ = 4 + 1 = 5$ 、 $∣ b ∣ = 1 + 9 = 10$ 。よって $cos θ = \frac{- 5}{5 10} = \frac{- 5}{50} = \frac{- 5}{5 2} = - \frac{1}{2}$ 。 $0 \leq θ \leq π$ より $θ = \frac{3}{4} π$ 。検算: $cos \frac{3 π}{4} = - \frac{2}{2} = - \frac{1}{2}$ で一致する。

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