気圧傾度力

等圧線の間隔と気圧差から、単位質量の空気にはたらく気圧傾度力 $\frac{1}{ρ} \frac{Δ p}{Δ n}$ の大きさを求め、向き（等圧線に垂直で高圧側から低圧側）を判定でき、地点どうしの大きさを比較できる

前提

運動方程式（高校物理力と運動）

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算数中学高校大学大学院

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力の分解と質点のつり合い（高校物理力と運動）
運動の法則（運動方程式）（高校物理力と運動（知識））
運動方程式（高校物理力と運動）

説明

風は、気圧の高いところから低いところへ空気を押す力（気圧傾度力）によって吹き始めます。この技能では、天気図の等圧線の気圧差と間隔から、空気 $1 kg$ あたりにはたらく気圧傾度力の大きさ $\frac{1}{ρ} \frac{Δ p}{Δ n}$ を計算し、その向きを判定できるようになります。等圧線が混んでいる場所ほど力が大きく、風が強くなりやすいことを、数値で比較できるようになります。

なぜそうしてよいのか

空気の中に、底面積 $S$ 、厚さ $Δ n$ の薄い直方体の空気のかたまりを考えます。厚さの向きを、気圧が下がっていく向き（等圧線に垂直な向き）にとり、高圧側の面の気圧を $p$ 、低圧側の面の気圧を $p - Δ p$ （ $Δ p > 0$ ）とします。圧力は面を垂直に押すので、高圧側の面は低圧側へ向かって $pS$ の力で、低圧側の面は高圧側へ向かって $(p - Δ p) S$ の力で押されます。差し引くと、かたまりは高圧側から低圧側へ向かう
$pS - (p - Δ p) S = Δ p S$
の力を受けます。等圧線に平行な向きには気圧の差がないので、その向きの力は打ち消し合います。だから力の向きは等圧線に垂直で、高圧側から低圧側です。

このかたまりの体積は $S Δ n$ 、密度を $ρ$ とすると質量は $ρS Δ n$ です。そこで、質量 $1 kg$ あたりの力にすると
$\frac{Δ p S}{ρS Δ n} = \frac{1}{ρ} \frac{Δ p}{Δ n}$
となり、底面積 $S$ は消えます。これが単位質量あたりの気圧傾度力です。運動方程式 $ma = F$ で考えると、ほかの力がなければ空気はこの大きさの加速度 $(単位 N/kg = m/s^{2})$ で動き始めることになります。

式から、気圧差 $Δ p$ が同じなら、等圧線の間隔 $Δ n$ がせまいほど（等圧線が混んでいるほど）力は大きいことがわかります。また、空気がうすい（ $ρ$ が小さい）上空ほど、同じ気圧差でも 1 kg あたりの力は大きくなります。

手順

隣り合う等圧線（または 2 地点）の気圧差 $Δ p$ を読み、 $hPa$ を $Pa$ に直す（ $1 hPa = 100 Pa$ ）。
等圧線に垂直に測った間隔 $Δ n$ を読み、 $km$ を $m$ に直す（ $1 km = 1000 m$ ）。
空気の密度 $ρ [kg/m^{3}]$ を使って、 $\frac{1}{ρ} \frac{Δ p}{Δ n}$ を計算する。単位は $N/kg$ （ $= m/s^{2}$ ）。
向きは、等圧線に垂直で、高圧側から低圧側と判定する。
地点どうしを比べるときは、 $\frac{Δ p}{ρ Δ n}$ の値で比べる（ $ρ$ が同じなら、等圧線の間隔がせまい地点ほど大きい）。

例題

ある地域では、 $4 hPa$ ごとに引いた等圧線が、等圧線に垂直な方向に $200 km$ の間隔で平行に並んでいる。空気の密度を $1.2 kg/m^{3}$ とするとき、この地域の空気 $1 kg$ にはたらく気圧傾度力の大きさは何 N か。有効数字 2 桁で求めよ。

例題の解答

手順 1：気圧差は $Δ p = 4 hPa = 4 \times 100 = 400 Pa$ 。

手順 2：等圧線の間隔は $Δ n = 200 km = 2.0 \times 1 0^{5} m$ 。

手順 3：空気 $1 kg$ あたりの気圧傾度力は
$\frac{1}{ρ} \frac{Δ p}{Δ n} = \frac{1}{1.2} \times \frac{400}{2.0 \times 1 0 ^{5}} = \frac{400}{2.4 \times 1 0 ^{5}} = 1.66 \dots \times 1 0^{- 3} [N]$

有効数字 2 桁で $1.7 \times 1 0^{- 3} N$ 。（手順 4：向きは等圧線に垂直で、高圧側から低圧側である。）

答え: $1.7 \times 1 0^{- 3}$

よくある誤り

$hPa$ や $km$ のまま計算してしまう誤り（ $\frac{1}{1.2} \times \frac{4}{200} ≒ 1.7 \times 1 0^{- 2}$ ）。正しくは $Δ p = 400 Pa$ 、 $Δ n = 2.0 \times 1 0^{5} m$ に直して $\frac{1}{1.2} \times \frac{400}{2.0 \times 1 0 ^{5}} ≒ 1.7 \times 1 0^{- 3} N/kg$ とする。
密度で割らずにかけてしまう誤り（ $1.2 \times \frac{400}{2.0 \times 1 0 ^{5}} = 2.4 \times 1 0^{- 3}$ ）。正しくは、空気の質量 $ρS Δ n$ で割って 1 kg あたりにするので $\frac{1}{ρ}$ をかける。
等圧線の間隔が広いほど気圧傾度力が大きいとしてしまう誤り。正しくは、 $Δ n$ は分母にあるので、気圧差が同じなら間隔がせまい（等圧線が混んでいる）ほど大きい。間隔が $100 km$ なら力は $200 km$ のときの 2 倍になる。
気圧傾度力の向きを、等圧線に沿った向きや、低圧側から高圧側としてしまう誤り。正しくは、等圧線に垂直で、高圧側から低圧側を向く。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
ある地域の地上付近で、互いに平行な 2 本の等圧線 $1012 hPa$ と $1008 hPa$ が、等圧線に垂直な方向に $200 km$ 離れて引かれていた。2 本の等圧線の間では、気圧は等圧線に垂直な方向に一様に変化しているものとする。空気の密度を $1.25 kg/ m^{3}$ 、 $1 hPa = 100 Pa$ とする。
2 本の等圧線の間にある質量 $1 kg$ の空気にはたらく気圧傾度力の大きさは何 N か。有効数字 2 桁で答えよ。

この技能を使う問題

高さ	$4 hPa$ ごとの等圧線の間隔	空気の密度
上空	$250 km$	$0.75 kg/ m^{3}$
地上付近	$400 km$	$1.2 kg/ m^{3}$

この技能の次に学べること

転向力と地衡風（高校地学大気と気象）