大気と気象の問題

北半球の上空（摩擦の影響を受けない高さ）にある 2 つの地点 A, B について、次の観測結果が得られた。どちらの地点でも等圧線はまっすぐ平行に引かれており、風は地衡風として吹いているものとする。

地衡風では、単位質量の空気にはたらく気圧傾度力と転向力（コリオリの力）がつり合っている。地球の自転の角速度は両地点で等しく、$\sin 37^{\circ }=0.60$、$\sin 53^{\circ }=0.80$ とする。地点 B の地衡風の風速は、地点 A の地衡風の風速の何倍か。有効数字 2 桁で求めよ。

北半球のある地点で、地上付近と上空（摩擦の影響を受けない高さ）の風を観測した。どちらの高さでも等圧線はまっすぐ平行に引かれており、風は一定の向きと速さで吹いていた。観測結果を次の表に示す。

上空では風は地衡風として等圧線に平行に吹いており、その風速は $32m/s$ であった。地上付近では、風は等圧線と角度 $\theta$ をなして低圧側へ吹き込んでおり、$\cos \theta =0.80$ であった。

次のことを用いてよい。
- 単位質量の空気にはたらく気圧傾度力の大きさは、密度を $\rho$、等圧線に垂直な距離 $\Delta x$ あたりの気圧差を $\Delta p$ として $\frac{1}{\rho }\frac{\Delta p}{\Delta x}$ で表され、向きは等圧線に垂直で高圧側から低圧側である。
- 単位質量の空気にはたらく転向力（コリオリの力）は風向に垂直（北半球では風下に向かって右向き）で、その大きさは風速に比例する。同じ地点では、その比例定数は高さによらない。
- 地上付近では、風と逆向きに摩擦力がはたらく。

地上付近の風速は何 $m/s$ か。有効数字 2 桁で求めよ。

北半球のある地点の地上付近で、まっすぐ平行な等圧線のもとを一定の速さで風が吹いている。この風には、気圧傾度力・転向力（コリオリの力）・地表との摩擦力の 3 力がはたらいてつり合っており、風は等圧線を角度 $\theta$ で斜めに横切って低圧側へ吹き込んでいる。ここで $\cos \theta =0.80$ である。

単位質量（$1\mathrm{kg}$）の空気にはたらく気圧傾度力の大きさは $1.5\times 10^{-3}\mathrm{N}$ である。また、風速を $V$〔m/s〕とすると、単位質量の空気にはたらく転向力の大きさは $2\Omega V\sin \phi$（$\Omega$ は地球の自転の角速度、$\phi$ は緯度）と表され、この地点では $2\Omega \sin \phi =1.0\times 10^{-4}/s$ である。転向力は風向に垂直で風下に向かって右向きに、摩擦力は風向と逆向きにはたらくものとする。

この地上風の風速は何 m/s か。有効数字 2 桁で答えよ。

北緯 $30^{\circ }$ の地点の上空で、互いに平行でまっすぐな等圧線が引かれており、気圧は等圧線に垂直な方向に $400\mathrm{km}$ あたり $4\mathrm{hPa}$ の割合で一様に変化していた。この高度の空気の密度を $1.0kg/{\mathrm{m}}^3$、地球の自転の角速度を $\Omega =7.3\times 10^{-5}rad/s$、$1\mathrm{hPa}=100\mathrm{Pa}$ とする。

この地点で、気圧傾度力と転向力（コリオリの力）だけがつり合って吹く地衡風の風速は何 m/s か。有効数字 2 桁で答えよ。

地表付近の大気の気圧は、高度が $5.5\mathrm{km}$ 上がるごとにおよそ半分になることが知られている。いま、地球の表面はすべて標高 $0\mathrm{m}$ で、地表の気圧はどこでも $1000\mathrm{hPa}$ であり、気圧は高度 $5.5\mathrm{km}$ ごとにちょうど半分になるものとする。

ある高さの気圧は、その高さより上にある空気の重さが単位面積あたりにおよぼす力に等しい。地球の半径を $6.4\times 10^6\mathrm{m}$、円周率を $3.14$、重力加速度の大きさを $9.8m/{\mathrm{s}}^2$ とし、重力加速度の大きさは高度によらず一定とする。また、大気の厚さは地球の半径に比べて十分小さいので、高度 $11\mathrm{km}$ までの空気の層の面積は地球の表面積と等しいとみなしてよい。

このとき、地表から高度 $11\mathrm{km}$ までの間にある大気の質量は、地球全体で何 $\mathrm{kg}$ か。有効数字 $2$ 桁で求めよ。