転向力と地衡風

気圧傾度力と転向力 $2Ω V sin φ$ のつり合いから、地衡風の風速 $V = \frac{1}{2Ω ρ sin φ} \frac{Δ p}{Δ n}$ と風向を求め、緯度・等圧線の間隔・密度の違う地点の風速を比較できる

前提

気圧傾度力（高校地学大気と気象）
コリオリの力（高校地学大気と気象（知識））

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算数中学高校大学大学院

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運動方程式（高校物理力と運動）
気圧傾度力（高校地学大気と気象）
作用反作用の法則とつり合う 2 力の区別（高校物理力と運動（知識））
慣性系・非慣性系と慣性力（高校物理力と運動（知識））
コリオリの力（高校地学大気と気象（知識））

説明

上空（地表の摩擦の影響を受けない高さ）では、風は等圧線を横切らず、等圧線に平行に吹きます。これは、空気を高圧側から低圧側へ押す気圧傾度力と、地球の自転による転向力（コリオリの力）がつり合っているためで、このような風を地衡風といいます。この技能では、2 つの力のつり合いの式から地衡風の風速 $V = \frac{1}{2Ω ρ sin φ} \frac{Δ p}{Δ n}$ を求め、風向を判定し、緯度・等圧線の間隔・空気の密度が違う地点どうしで風速を比べられるようになります。

なぜそうしてよいのか

単位質量（ $1 kg$ ）の空気には、等圧線に垂直に高圧側から低圧側へ向かう気圧傾度力 $\frac{1}{ρ} \frac{Δ p}{Δ n}$ がはたらきます（ $ρ$ は空気の密度、 $Δ p$ は気圧差、 $Δ n$ は等圧線に垂直に測った間隔）。一方、地球上で速さ $V$ で水平に動く空気 $1 kg$ には、転向力がはたらきます。その大きさは $2Ω V sin φ$ で（ $Ω$ は地球の自転の角速度、 $φ$ は緯度）、速さに比例し、赤道（ $sin 0 = 0$ ）で 0、高緯度ほど大きくなります。向きは運動の向きに垂直で、北半球では進行方向の右向き、南半球では左向きです。

静止していた空気は、はじめ気圧傾度力の向き（低圧側）に動き出します。速くなるほど転向力が大きくなり、北半球では右へ右へと曲げられていきます。やがて、風が等圧線に平行に吹き、転向力がちょうど高圧側を向いて気圧傾度力と大きさが等しくなったところで、2 力がつり合います。つり合っていれば、運動方程式から加速度は 0 なので、空気はその向き・速さのまま等速で吹き続けます。これが地衡風です。北半球では、転向力が進行方向の右（高圧側）を向くので、風下に向かって右手が高圧側、左手が低圧側になります。南半球では逆に、左手が高圧側、右手が低圧側です。

つり合いの式 $2Ω V sin φ = \frac{1}{ρ} \frac{Δ p}{Δ n}$ を $V$ について解くと
$V = \frac{1}{2Ω ρ sin φ} \frac{Δ p}{Δ n}$
となります。等圧線の間隔がせまいほど、空気の密度が小さいほど、緯度が低いほど（ $sin φ$ が小さいほど）風速は大きくなります。ただし赤道付近では転向力がほとんどはたらかないので、地衡風の考え方は使えません（ $sin φ = 0$ では式の分母が 0 になります）。

手順

気圧差 $Δ p$ を $Pa$ に（ $1 hPa = 100 Pa$ ）、等圧線の間隔 $Δ n$ を $m$ に直し、密度 $ρ$ 、自転の角速度 $Ω$ 、緯度 $φ$ の $sin φ$ の値を確認する。
単位質量あたりの気圧傾度力 $\frac{1}{ρ} \frac{Δ p}{Δ n}$ を計算する。
つり合いの式 $2Ω V sin φ = \frac{1}{ρ} \frac{Δ p}{Δ n}$ を立て、 $V = \frac{1}{2Ω ρ sin φ} \frac{Δ p}{Δ n}$ を求める。
風向を判定する：風は等圧線に平行で、北半球では風下に向かって右手が高圧側（左手が低圧側）、南半球では左手が高圧側になる向きに吹く。
地点どうしを比べるときは、 $V$ が $\frac{Δ p}{Δ n}$ に比例し、 $ρ$ と $sin φ$ に反比例することを使って比を求める。

例題

北緯 $3 0^{\circ}$ の上空で、 $4 hPa$ ごとに引いた等圧線が、等圧線に垂直な方向に $400 km$ の間隔で平行に並んでいる。この高さの空気の密度を $0.50 kg/m^{3}$ 、地球の自転の角速度を $7.3 \times 1 0^{- 5} rad/s$ とし、 $sin 3 0^{\circ} = 0.50$ とする。ここで吹く風が地衡風であるとき、その風速は何 m/s か。有効数字 2 桁で求めよ。

例題の解答

手順 1： $Δ p = 4 hPa = 400 Pa$ 、 $Δ n = 400 km = 4.0 \times 1 0^{5} m$ 、 $ρ = 0.50 kg/m^{3}$ 、 $Ω = 7.3 \times 1 0^{- 5} rad/s$ 、 $sin φ = 0.50$ 。

手順 2：単位質量あたりの気圧傾度力は
$\frac{1}{ρ} \frac{Δ p}{Δ n} = \frac{1}{0.50} \times \frac{400}{4.0 \times 1 0 ^{5}} = 2.0 \times 1 0^{- 3} [N/kg]$

手順 3：つり合いの式 $2Ω V sin φ = 2.0 \times 1 0^{- 3}$ より
$V = \frac{2.0 \times 1 0 ^{- 3}}{2 \times 7.3 \times 1 0 ^{- 5} \times 0.50} = \frac{2.0 \times 1 0 ^{- 3}}{7.3 \times 1 0 ^{- 5}} = 27.3 \dots [m/s]$

有効数字 2 桁で $27 m/s$ 。（手順 4：北半球なので、風は等圧線に平行に、風下に向かって右手に高圧側を見る向きに吹く。）

答え: $27$

よくある誤り

地衡風が気圧傾度力の向き、つまり等圧線に垂直に高圧側から低圧側へ吹くとしてしまう誤り。正しくは、気圧傾度力と転向力がつり合った状態なので、風は等圧線に平行に吹き、北半球では風下に向かって右手が高圧側になる。
転向力の式の $2$ や $sin φ$ を落としてしまう誤り（ $V = \frac{2.0 \times 1 0 ^{- 3}}{7.3 \times 1 0 ^{- 5} \times 0.50} ≒ 55 m/s$ など）。正しくは、転向力は $2Ω V sin φ$ なので、分母は $2 \times 7.3 \times 1 0^{- 5} \times 0.50$ で $V ≒ 27 m/s$ である。
緯度が高いほど地衡風が強くなるとしてしまう誤り。正しくは、気圧傾度力が同じなら、高緯度ほど $sin φ$ が大きく転向力が強くはたらくので、つり合う風速 $V$ は小さくなる（ $V$ は $sin φ$ に反比例）。たとえば北緯 $3 0^{\circ}$ と北緯 $9 0^{\circ}$ では、同じ気圧配置でも風速は $\frac{s i n 3 0 ^{\circ}}{s i n 9 0 ^{\circ}} = \frac{1}{2}$ 倍になる。
南半球でも北半球と同じ向きに吹くとしてしまう誤り。正しくは、南半球では転向力が進行方向の左向きにはたらくので、風下に向かって左手が高圧側、右手が低圧側になる向きに吹く。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
北緯 $3 0^{\circ}$ の地点の上空で、互いに平行でまっすぐな等圧線が引かれており、気圧は等圧線に垂直な方向に $400 km$ あたり $4 hPa$ の割合で一様に変化していた。この高度の空気の密度を $1.0 kg/ m^{3}$ 、地球の自転の角速度を $Ω = 7.3 \times 1 0^{- 5} rad/s$ 、 $1 hPa = 100 Pa$ とする。
この地点で、気圧傾度力と転向力（コリオリの力）だけがつり合って吹く地衡風の風速は何 m/s か。有効数字 2 桁で答えよ。

この技能を使う問題

地点	緯度	$4 hPa$ ごとの等圧線の間隔	空気の密度
A	北緯 $3 7^{\circ}$	$240 km$	$0.60 kg/ m^{3}$
B	北緯 $5 3^{\circ}$	$400 km$	$0.75 kg/ m^{3}$

高さ	$4 hPa$ ごとの等圧線の間隔	空気の密度
上空	$250 km$	$0.75 kg/ m^{3}$
地上付近	$400 km$	$1.2 kg/ m^{3}$

この技能の次に学べること

摩擦がはたらく地上風（高校地学大気と気象）