摩擦がはたらく地上風

地上付近で気圧傾度力・転向力・摩擦力の 3 力がつり合い、風が等圧線を斜めに横切って低圧側へ吹き込むことを使って、力を風向と垂直な方向に分解し地上風の風速を求められる

前提

転向力と地衡風（高校地学大気と気象）

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算数中学高校大学大学院

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転向力と地衡風（高校地学大気と気象）

説明

上空の風は気圧傾度力と転向力の 2 力がつり合う地衡風として等圧線に平行に吹きますが、地上付近では地面との摩擦力がはたらくため、風は等圧線を斜めに横切って低圧側へ吹き込みます。この技能では、気圧傾度力・転向力・摩擦力の 3 力のつり合いを、風向に平行な方向と垂直な方向に分けて式にし、地上風の風速や摩擦力の大きさを求めます。低気圧に向かって風が吹き込むしくみを、数量的に説明できるようになります。

なぜそうしてよいのか

空気 1 kg あたりにはたらく力で考えます。気圧傾度力の大きさは $P = \frac{1}{ρ} \frac{Δ p}{Δ n}$ で、向きは等圧線に垂直で高圧側から低圧側です。転向力の大きさは $C = 2Ω V sin φ$ で、風向に垂直（北半球では風下に向かって右向き）です。地上ではこれに摩擦力 $F$ が加わり、摩擦力は風向と逆向きです。風速が一定のとき、この 3 力はつり合っています。

風が等圧線と角 $θ$ をなして低圧側へ吹いているとします。気圧傾度力は等圧線に垂直なので、風向と気圧傾度力のなす角は $9 0^{\circ} - θ$ です。ここで力を「風向に平行な方向」と「風向に垂直な方向」に分解すると見通しがよくなります。転向力は風向に垂直なので平行方向の成分をもたず、摩擦力は風向と逆向きなので垂直方向の成分をもちません。したがって
- 風向に平行な方向： $P cos (9 0^{\circ} - θ) = P sin θ = F$
- 風向に垂直な方向： $P sin (9 0^{\circ} - θ) = P cos θ = C = 2Ω V sin φ$
という 2 つのつり合いの式が得られます。

2 つ目の式から $V = \frac{P cos θ}{2Ω sin φ} = \frac{cos θ}{2Ω ρ sin φ} \frac{Δ p}{Δ n}$ です。これは地衡風の風速に $cos θ$ を掛けたものなので、地上風は同じ気圧配置の地衡風より遅くなります。摩擦で風が弱まると転向力が小さくなり、気圧傾度力に押されて風が低圧側へ曲がり込む、というのが直観的な理由です。

手順

気圧傾度力（1 kg あたり）の大きさを求める： $P = \frac{1}{ρ} \frac{Δ p}{Δ n}$ （ $Δ p$ は Pa、 $Δ n$ は m にそろえる）
風向と等圧線のなす角 $θ$ から、風向と気圧傾度力のなす角が $9 0^{\circ} - θ$ であることを確かめる
風向に垂直な方向のつり合いを立てる： $P cos θ = 2Ω V sin φ$ （必要なら平行方向の $P sin θ = F$ も立てる）
式を $V$ について解く： $V = \frac{P cos θ}{2Ω sin φ}$ 。指定された桁に丸める

例題

北緯 $3 0^{\circ}$ の地上付近で、等圧線が東西方向に平行に並び、気圧は北へ $400 km$ 進むごとに $4 hPa$ ずつ低くなっている。ここでは風が等圧線と $3 0^{\circ}$ の角をなして低圧側へ吹き込んでおり、空気には気圧傾度力・転向力・摩擦力（風向と逆向き）の 3 力がつり合っている。空気の密度を $1.2 kg/ m^{3}$ 、地球の自転の角速度を $7.3 \times 1 0^{- 5} rad/s$ 、 $sin 3 0^{\circ} = 0.50$ 、 $cos 3 0^{\circ} = 0.87$ とする。この地上風の風速は何 m/s か。有効数字 2 桁で求めよ。

例題の解答

手順 1： $Δ p = 4 hPa = 400 Pa$ 、 $Δ n = 400 km = 4.0 \times 1 0^{5} m$ なので
$\frac{Δ p}{Δ n} = \frac{400}{4.0 \times 1 0 ^{5}} = 1.0 \times 1 0^{- 3} Pa/m$
1 kg あたりの気圧傾度力は
$P = \frac{1.0 \times 1 0 ^{- 3}}{1.2} ≒ 8.33 \times 1 0^{- 4} N/kg$
手順 2：気圧傾度力は等圧線に垂直に北向き（低圧側）、風は等圧線と $3 0^{\circ}$ をなすので、風向と気圧傾度力のなす角は $9 0^{\circ} - 3 0^{\circ} = 6 0^{\circ}$ である。
手順 3：風向に垂直な方向では、気圧傾度力の成分 $P cos 3 0^{\circ}$ と転向力がつり合う（摩擦力は風向と逆向きなので、この方向の成分はない）。
$P cos 3 0^{\circ} = 2Ω V sin 3 0^{\circ}$
手順 4：
$V = \frac{P cos 3 0 ^{\circ}}{2Ω sin 3 0 ^{\circ}} = \frac{8.33 \times 1 0 ^{- 4} \times 0.87}{2 \times 7.3 \times 1 0 ^{- 5} \times 0.50} = \frac{7.25 \times 1 0 ^{- 4}}{7.3 \times 1 0 ^{- 5}} ≒ 9.9 m/s$
よって、地上風の風速は $9.9 m/s$ である。

答え: $9.9$

よくある誤り

地衡風と同じように $P = 2Ω V sin φ$ とおいてしまう誤り。地上では気圧傾度力の全部が転向力とつり合うわけではなく、正しくは風向に垂直な成分だけを使って $P cos θ = 2Ω V sin φ$ とする（例題なら $V ≒ 11 m/s$ ではなく $9.9 m/s$ ）。
等圧線と風のなす角 $θ$ を、気圧傾度力と風のなす角と取り違え、 $P sin θ = 2Ω V sin φ$ としてしまう誤り。気圧傾度力は等圧線に垂直なので、風とのなす角は $9 0^{\circ} - θ$ であり、正しくは垂直方向の成分は $P sin (9 0^{\circ} - θ) = P cos θ$ である。
摩擦力を等圧線に平行な向きや気圧傾度力と逆向きにとってしまう誤り。摩擦力は風向と逆向きなので、正しくは風向に平行な方向のつり合い $P sin θ = F$ にだけ現れる。
$Δ p$ を hPa、 $Δ n$ を km のまま代入してしまう誤り。正しくは $4 hPa = 400 Pa$ 、 $400 km = 4.0 \times 1 0^{5} m$ に直して $\frac{Δ p}{Δ n} = 1.0 \times 1 0^{- 3} Pa/m$ とする。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
北半球のある地点の地上付近で、まっすぐ平行な等圧線のもとを一定の速さで風が吹いている。この風には、気圧傾度力・転向力（コリオリの力）・地表との摩擦力の 3 力がはたらいてつり合っており、風は等圧線を角度 $θ$ で斜めに横切って低圧側へ吹き込んでいる。ここで $cos θ = 0.80$ である。
単位質量（ $1 kg$ ）の空気にはたらく気圧傾度力の大きさは $1.5 \times 1 0^{- 3} N$ である。また、風速を $V$ 〔m/s〕とすると、単位質量の空気にはたらく転向力の大きさは $2Ω V sin φ$ （ $Ω$ は地球の自転の角速度、 $φ$ は緯度）と表され、この地点では $2Ω sin φ = 1.0 \times 1 0^{- 4} /s$ である。転向力は風向に垂直で風下に向かって右向きに、摩擦力は風向と逆向きにはたらくものとする。
この地上風の風速は何 m/s か。有効数字 2 桁で答えよ。

この技能を使う問題

難易度 3（共通テストレベル）
北半球のある地点で、地上付近と上空（摩擦の影響を受けない高さ）の風を観測した。どちらの高さでも等圧線はまっすぐ平行に引かれており、風は一定の向きと速さで吹いていた。観測結果を次の表に示す。
高さ $4 hPa$ ごとの等圧線の間隔空気の密度
上空 $250 km$ $0.75 kg/ m^{3}$
地上付近 $400 km$ $1.2 kg/ m^{3}$
上空では風は地衡風として等圧線に平行に吹いており、その風速は $32 m/s$ であった。地上付近では、風は等圧線と角度 $θ$ をなして低圧側へ吹き込んでおり、 $cos θ = 0.80$ であった。
次のことを用いてよい。
- 単位質量の空気にはたらく気圧傾度力の大きさは、密度を $ρ$ 、等圧線に垂直な距離 $Δ x$ あたりの気圧差を $Δ p$ として $\frac{1}{ρ} \frac{Δ p}{Δ x}$ で表され、向きは等圧線に垂直で高圧側から低圧側である。
- 単位質量の空気にはたらく転向力（コリオリの力）は風向に垂直（北半球では風下に向かって右向き）で、その大きさは風速に比例する。同じ地点では、その比例定数は高さによらない。
- 地上付近では、風と逆向きに摩擦力がはたらく。
地上付近の風速は何 $m/s$ か。有効数字 2 桁で求めよ。

高さ	$4 hPa$ ごとの等圧線の間隔	空気の密度
上空	$250 km$	$0.75 kg/ m^{3}$
地上付近	$400 km$	$1.2 kg/ m^{3}$