微分法と積分法の問題

直線 $\mathrm{PQ}$ の式を見やすい形にする（鍵）

直線 $\mathrm{PQ}$ の傾きは $\frac{(t+2{)}^2-t^2}{2}=2t+2$ なので、直線 $\mathrm{PQ}$ は
$$y=(2t+2)(x-t)+t^2=(2t+2)x-t^2-2t$$
である。これを $x$ の式として平方完成の形に直すと
$$(2t+2)x-t^2-2t=x^2+1-\{x-(t+1){\}}^2$$
となる（右辺を展開すると $x^2+1-x^2+2(t+1)x-(t+1{)}^2=(2t+2)x-t^2-2t$）。

つまり、線分 $\mathrm{PQ}$ 上の点の $y$ 座標は、$x$ 座標を用いて
$$y=L_t(x)=x^2+1-\{x-(t+1){\}}^2(t\le x\le t+2)$$
と書ける。この形から、直線 $\mathrm{PQ}$ はつねに放物線 $y=x^2+1$ の下側にあり、$x=t+1$（線分 $\mathrm{PQ}$ の中点の $x$ 座標）でだけ $y=x^2+1$ に接することがわかる。

$x$ を固定して、通過する $y$ の範囲を調べる

$x$ を固定する。線分 $\mathrm{PQ}$ が直線 $X=x$（縦の直線）と交わるのは $t\le x\le t+2$、すなわち $x-2\le t\le x$ のときである。$-1\le t\le 1$ と合わせて、$t$ の動く範囲は
$$I_x:\max (-1,x-2)\le t\le \min (1,x)$$
で、これが空でないのは $-1\le x\le 3$ のときである。

$t$ が区間 $I_x$ を動くとき、交点の $y$ 座標 $L_t(x)$ は $t$ について連続に変わるので、通過する $y$ の値は「$L_t(x)$ の最小値から最大値まで」の区間になる。

• 最小値：$L_t(x)\ge x^2$ である（線分 $\mathrm{PQ}$ は放物線 $C$ より上にある。$L_t(x)-x^2=-(x-t)(x-t-2)\ge 0$）。$-1\le x\le 1$ のときは $t=x$、$1\le x\le 3$ のときは $t=x-2$ が $I_x$ に入り、そのとき $L_t(x)=x^2$（端点 $\mathrm{P}$ または $\mathrm{Q}$）。よって最小値は $x^2$。
• 最大値：$L_t(x)=x^2+1-\{t-(x-1){\}}^2$ は、$t$ が $x-1$ に近いほど大きい。
• $0\le x\le 2$ のとき、$t=x-1$ は $I_x$ に入るので、最大値は $x^2+1$。
• $-1\le x\le 0$ のとき、$I_x$ は $-1\le t\le x$ で $x-1\le -1$ だから、$t=-1$ で最大となり、最大値は $x^2+1-x^2=1$。
• $2\le x\le 3$ のとき、$I_x$ は $x-2\le t\le 1$ で $x-1\ge 1$ だから、$t=1$ で最大となり、最大値は $x^2+1-(x-2{)}^2=4x-3$。

したがって、通過する部分は $-1\le x\le 3$ において $x^2\le y\le g(x)$ で表される。ここで
$$g(x)=\{\begin{array}{ll}1& (-1\le x\le 0)\\ x^2+1& (0\le x\le 2)\\ 4x-3& (2\le x\le 3)\end{array}$$
（$t=-1$ のときの線分 $y=1$、放物線 $y=x^2+1$ の一部、$t=1$ のときの線分 $y=4x-3$ をつないだもの）である。

面積の計算

$$S={\int }_{-1}^0(1-x^2)dx+{\int }_0^2\{(x^2+1)-x^2\}dx+{\int }_2^3(4x-3-x^2)dx$$
それぞれ計算すると
$${\int }_{-1}^0(1-x^2)dx={\left[x-\frac{x^3}{3}\right]}_{-1}^0=0-\left(-1+\frac{1}{3}\right)=\frac{2}{3}$$
$${\int }_0^{2}1dx=2$$
$${\int }_2^3(-x^2+4x-3)dx={\left[-\frac{x^3}{3}+2x^2-3x\right]}_2^3=(-9+18-9)-\left(-\frac{8}{3}+8-6\right)=0-\left(-\frac{2}{3}\right)=\frac{2}{3}$$
よって
$$S=\frac{2}{3}+2+\frac{2}{3}=\frac{10}{3}$$

直線 PQ の傾きは $\frac{(t+2{)}^2-t^2}{2}=2t+2$ なので、直線 PQ は $y=(2t+2)(x-t)+t^2=-t^2+2(x-1)t+2x$ …(*)。線分 PQ は $t\leqq x\leqq t+2$ の部分、すなわち $x-2\leqq t\leqq x$。

$x$ を固定し、(*) の右辺を $h(t)=-t^2+2(x-1)t+2x$ とおく。点 $(x,y)$ が線分 PQ の通過部分にあるための条件は、$t$ が $-1\leqq t\leqq 1$ かつ $x-2\leqq t\leqq x$ を満たして $y=h(t)$ となること。$h(t)$ は連続なので、$y$ のとりうる範囲は $t$ の範囲 $I(x)$ での $h$ の最小値から最大値まで。

$h(t)=-(t-(x-1){)}^2+x^2+1$ より軸は $t=x-1$、軸での最大値は $x^2+1$。また $h(x)=x^2,h(x-2)=x^2,h(-1)=1,h(1)=4x-3$。$x$ のとりうる範囲は $-1\leqq x\leqq 3$。

(i) $-1\leqq x\leqq 0$：$I=[-1,x]$、軸 $x-1\leqq -1$ なので $h$ は減少。最大 $h(-1)=1$、最小 $h(x)=x^2$。長さ $1-x^2$。

(ii) $0\leqq x\leqq 1$：$I=[-1,x]$、軸 $x-1\in [-1,0]$ は $I$ 内。最大 $x^2+1$、最小は $\min \{h(-1),h(x)\}=\min \{1,x^2\}=x^2$。長さ 1。

(iii) $1\leqq x\leqq 2$：$I=[x-2,1]$、軸 $x-1\in [0,1]$ は $I$ 内。最大 $x^2+1$、最小は $\min \{x^2,4x-3\}$ で、$x^2-(4x-3)=(x-1)(x-3)\leqq 0$ より $x^2$。長さ 1。

(iv) $2\leqq x\leqq 3$：$I=[x-2,1]$、軸 $x-1\geqq 1$ なので $h$ は増加。最小 $h(x-2)=x^2$、最大 $h(1)=4x-3$。長さ $-x^2+4x-3$。

面積は
${\int }_{-1}^0(1-x^2)dx+{\int }_0^{1}1dx+{\int }_1^{2}1dx+{\int }_2^3(-x^2+4x-3)dx$
$=\left(1-\frac{1}{3}\right)+1+1+{\left[-\frac{x^3}{3}+2x^2-3x\right]}_2^3$
$=\frac{2}{3}+2+\left(0-\left(-\frac{8}{3}+2\right)\right)=\frac{2}{3}+2+\frac{2}{3}=\frac{10}{3}$。

[確認] (i) と (iv) は対称（$x\to 2-x$ ではなく、通過領域が $x=1$ に関して対称：$t\to -t$ の対称で $x\to -x$ となるので領域は $y$ 軸対称ではなく、$P,Q$ を入れ替えると $x\to 2-x$ の移動で…）ではないが、それぞれ $\frac{2}{3}$ となり、全体は $x=1$ に関して対称で整合する。