微分法と積分法の問題

多項式を微分するときは、次の $2$ つを使います。

• $(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$（$n$ は正の整数）、定数 $c$ について $(c{)}^{\prime }=0$
• 微分の線形性：定数 $k,l$ について $\{kf(x)+lg(x){\}}^{\prime }=k{f}^{\prime }(x)+l{g}^{\prime }(x)$

この線形性により、各項を別々に微分して足し合わせればよく、係数はそのまま前に出せます。

$$f^{\prime }(x)=(2x^3{)}^{\prime }+(3x^2{)}^{\prime }-(5x{)}^{\prime }+(4{)}^{\prime }=2(x^3{)}^{\prime }+3(x^2{)}^{\prime }-5(x{)}^{\prime }+(4{)}^{\prime }$$

各項を計算します。

• $(x^3{)}^{\prime }=3x^2$ より $2(x^3{)}^{\prime }=2\cdot 3x^2=6x^2$
• $(x^2{)}^{\prime }=2x$ より $3(x^2{)}^{\prime }=3\cdot 2x=6x$
• $(x{)}^{\prime }=1$ より $5(x{)}^{\prime }=5\cdot 1=5$
• 定数の微分は $0$ なので $(4{)}^{\prime }=0$

したがって
$$f^{\prime }(x)=6x^2+6x-5+0=6x^2+6x-5$$

各項を微分する。$(2x^3{)}^{\prime }=6x^2$、$(3x^2{)}^{\prime }=6x$、$(-5x{)}^{\prime }=-5$、定数 $4$ の導関数は $0$。よって $f^{\prime }(x)=6x^2+6x-5$。検算: $x=1$ での差分商 $\frac{f(1+h)-f(1)}{h}$ を考える。$f(1)=2+3-5+4=4$、$f(1.001)=2(1.003003001)+3(1.002001)-5.005+4=2.006006002+3.006003-5.005+4=4.007009002$。差は $0.007009002$ で $h=0.001$ で割ると約 $7.009$。$f^{\prime }(1)=6+6-5=7$ と一致する。