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微分法と積分法の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学II 微分法と積分法

2 つの放物線 $y = x^{2} - 2 x$ と $y = - x^{2} + 4 x$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ。

この問題で使うもの

定積分と面積（説明と入口の問題）
定積分の計算（説明と入口の問題）
多項式の不定積分（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（26 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

技能「定積分と面積」を使います。まず 2 つの放物線の交点の $x$ 座標を求め、それを積分の範囲にします。

ヒント 2

交点の $x$ 座標を $α, β (α < β)$ とすると、面積は $\int_{α}^{β} {(上のグラフの式) - (下のグラフの式)} d x$ で求められます。

ヒント 3

$x^{2} - 2 x = - x^{2} + 4 x$ を解くと $x = 0, 3$ です。 $0 \leq x \leq 3$ では $y = - x^{2} + 4 x$ が上にあるので、 $S = \int_{0}^{3} (- 2 x^{2} + 6 x) d x$ を計算します。

答えと解説

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9

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解説を読む

手順 1：交点の $x$ 座標を求める

2 つの式を等しいとおくと
$x^{2} - 2 x = - x^{2} + 4 x$
$2 x^{2} - 6 x = 0$
$2 x (x - 3) = 0$
よって、交点の $x$ 座標は $x = 0, 3$ である。これが定積分の下端と上端になる。

手順 2：どちらのグラフが上にあるかを調べる

$(- x^{2} + 4 x) - (x^{2} - 2 x) = - 2 x^{2} + 6 x = 2 x (3 - x)$
$0 \leq x \leq 3$ では $x \geq 0$ , $3 - x \geq 0$ なので $2 x (3 - x) \geq 0$ である。したがって、この範囲では放物線 $y = - x^{2} + 4 x$ が $y = x^{2} - 2 x$ より上（または同じ高さ）にある。

手順 3：(上の式) $-$ (下の式) を定積分する

$S = \int_{0}^{3} {(- x^{2} + 4 x) - (x^{2} - 2 x)} d x = \int_{0}^{3} (- 2 x^{2} + 6 x) d x$
$= [- \frac{2}{3} x^{3} + 3 x^{2}]_{0}^{3}$
$= (- \frac{2}{3} \cdot 27 + 3 \cdot 9) - 0 = - 18 + 27 = 9$

よって、 $S = 9$ である。

別解

2つの放物線の交点は $x^{2} - 2 x = - x^{2} + 4 x$ より $2 x^{2} - 6 x = 0$ なので $x = 0, 3$ 。区間 $0 \leq x \leq 3$ では $- x^{2} + 4 x \geq x^{2} - 2 x$ （例えば $x = 1$ で 3 と $- 1$ ）。よって $S = \int_{0}^{3} {(- x^{2} + 4 x) - (x^{2} - 2 x)} d x = \int_{0}^{3} (- 2 x^{2} + 6 x) d x = [- \frac{2}{3} x^{3} + 3 x^{2}]_{0}^{3} = - 18 + 27 = 9$ 。検算： $- 2 x^{2} + 6 x = - 2 x (x - 3)$ なので公式 $\frac{∣ a ∣}{6} (β - α)^{3} = \frac{2}{6} \cdot 27 = 9$ 。一致する。

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