微分法と積分法の問題

手順 1：交点の $x$ 座標を求める

2 つの式を等しいとおくと
$$x^2-1=-x^2+2x+3$$
$$2x^2-2x-4=0$$
$$x^2-x-2=0$$
$$(x+1)(x-2)=0$$
よって、交点の $x$ 座標は $x=-1,2$ である。

手順 2：どちらが上にあるかを調べる

$$(-x^2+2x+3)-(x^2-1)=-2x^2+2x+4=-2(x+1)(x-2)$$
$-1\le x\le 2$ では $(x+1)(x-2)\le 0$ なので、この値は $0$ 以上である。したがって、この範囲では $-x^2+2x+3\ge x^2-1$ となり、放物線 $y=-x^2+2x+3$ が上側にある。（例えば $x=0$ では $3>-1$ となり、確かめられる。）

手順 3：（上の式）$-$（下の式）を定積分する

$$S={\int }_{-1}^2\{(-x^2+2x+3)-(x^2-1)\}dx={\int }_{-1}^2(-2x^2+2x+4)dx$$
$$={\left[-\frac{2}{3}{x}^3+x^2+4x\right]}_{-1}^2$$
$x=2$ のときの値は
$$-\frac{16}{3}+4+8=\frac{20}{3}$$
$x=-1$ のときの値は
$$\frac{2}{3}+1-4=-\frac{7}{3}$$
よって
$$S=\frac{20}{3}-\left(-\frac{7}{3}\right)=\frac{27}{3}=9$$

答えは $S=9$ である。

2曲線の交点: $x^2-1=-x^2+2x+3$ より $2x^2-2x-4=0$、すなわち $x^2-x-2=0$ なので $(x-2)(x+1)=0$、$x=-1,2$。
区間 $-1\le x\le 2$ で $-x^2+2x+3\ge x^2-1$（例えば $x=0$ で $3\ge -1$）。
上の曲線から下の曲線を引くと $(-x^2+2x+3)-(x^2-1)=-2x^2+2x+4=-2(x+1)(x-2)$。
$S={\int }_{-1}^2(-2)(x+1)(x-2)dx=2\cdot \frac{(2-(-1){)}^3}{6}=2\cdot \frac{27}{6}=9$。
検算: 原始関数 $-\frac{2}{3}{x}^3+x^2+4x$ について、$x=2$ で $-\frac{16}{3}+4+8=\frac{20}{3}$、$x=-1$ で $\frac{2}{3}+1-4=-\frac{7}{3}$。差は $\frac{27}{3}=9$。