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微分法と積分法の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学II 微分法と積分法

定積分 $\int_{- 1}^{2} (x^{2} + 2 x - 1) d x$ の値を求めよ。

この問題で使うもの

多項式の不定積分（説明と入口の問題）
定積分の計算（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（15 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

技能「定積分の計算」を使います。まず被積分関数 $x^{2} + 2 x - 1$ の原始関数 $F (x)$ を求め、 $\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)$ で計算します。

ヒント 2

$\int x^{2} d x = \frac{x ^{3}}{3} + C$ 、 $\int 2 x d x = x^{2} + C$ 、 $\int 1 d x = x + C$ を使うと、原始関数は $F (x) = \frac{x ^{3}}{3} + x^{2} - x$ となります。

ヒント 3

$F (2) = \frac{14}{3}$ 、 $F (- 1) = \frac{5}{3}$ です。あとは差 $F (2) - F (- 1)$ を計算しましょう。

答えと解説

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3

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解説を読む

定積分は、被積分関数の原始関数 $F (x)$ を1つ求め、 $F (b) - F (a)$ を計算すれば求められます。

手順1：原始関数を求める。
$x^{2} + 2 x - 1$ の原始関数の1つは、 $\int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C$ を項ごとに使って
$F (x) = \frac{x ^{3}}{3} + x^{2} - x$
です。定積分では積分定数 $C$ は差をとると消えるので、書かなくてかまいません。

手順2：上端と下端の値を代入する。
$F (2) = \frac{8}{3} + 4 - 2 = \frac{14}{3}$
$F (- 1) = \frac{- 1}{3} + 1 - (- 1) = - \frac{1}{3} + 2 = \frac{5}{3}$

手順3：差をとる。
$\int_{- 1}^{2} (x^{2} + 2 x - 1) d x = [\frac{x ^{3}}{3} + x^{2} - x]_{- 1}^{2} = F (2) - F (- 1) = \frac{14}{3} - \frac{5}{3} = \frac{9}{3} = 3$

よって、求める値は $3$ です。

別解

原始関数は $\frac{x ^{3}}{3} + x^{2} - x$ 。
$x = 2$ のとき $\frac{8}{3} + 4 - 2 = \frac{14}{3}$ 。
$x = - 1$ のとき $- \frac{1}{3} + 1 + 1 = \frac{5}{3}$ 。
よって $\frac{14}{3} - \frac{5}{3} = 3$ 。
検算： $\int_{- 1}^{2} x^{2} d x = \frac{8 + 1}{3} = 3$ 、 $\int_{- 1}^{2} 2 x d x = [x^{2}]_{- 1}^{2} = 4 - 1 = 3$ 、 $\int_{- 1}^{2} (- 1) d x = - 3$ 。合計 $3 + 3 - 3 = 3$ 。

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