微分法と積分法の問題

1. 導関数を求める

$$f^{\prime }(x)=6x^2-6(a+1)x+6a=6\{x^2-(a+1)x+a\}=6(x-1)(x-a)$$

$f(x)$ が極大値と極小値をもつのは、$f^{\prime }(x)=0$ が異なる 2 つの実数解をもち、その前後で $f^{\prime }(x)$ の符号が変わるときである。よって条件は $a\ne 1$ である。

2. $x=1$, $x=a$ における値を求める

$$f(1)=2-3(a+1)+6a=3a-1$$
$$f(a)=2a^3-3(a+1)a^2+6a^2=2a^3-3a^3-3a^2+6a^2=-a^3+3a^2$$

したがって
$$f(1)-f(a)=3a-1+a^3-3a^2=a^3-3a^2+3a-1=(a-1{)}^3$$

3. 場合分け

(i) $a>1$ のとき

$f^{\prime }(x)$ は $x<1$ で正、$1<x<a$ で負、$x>a$ で正である。よって $f(x)$ は $x=1$ で極大、$x=a$ で極小となる。

$$(\text{極大値})-(\text{極小値})=f(1)-f(a)=(a-1{)}^3$$

$(a-1{)}^3=8$ より $a-1=2$、すなわち $a=3$ である。これは $a>1$ を満たす。

(ii) $a<1$ のとき

$f^{\prime }(x)$ は $x<a$ で正、$a<x<1$ で負、$x>1$ で正である。よって $f(x)$ は $x=a$ で極大、$x=1$ で極小となる。

$$(\text{極大値})-(\text{極小値})=f(a)-f(1)=-(a-1{)}^3=(1-a{)}^3$$

$(1-a{)}^3=8$ より $1-a=2$、すなわち $a=-1$ である。これは $a<1$ を満たす。

4. 確認

• $a=3$ のとき $f(x)=2x^3-12x^2+18x$ で、極大値 $f(1)=8$、極小値 $f(3)=0$。差は $8$ である。
• $a=-1$ のとき $f(x)=2x^3-6x$ で、極大値 $f(-1)=4$、極小値 $f(1)=-4$。差は $8$ である。

以上より、求める $a$ の値は $a=-1,3$ である。

$f^{\prime }(x)=6x^2-6(a+1)x+6a=6(x-1)(x-a)$。極大値と極小値をもつ条件は $f^{\prime }(x)=0$ が異なる2つの実数解をもつことなので、$a\ne 1$。

$f(1)=2-3(a+1)+6a=3a-1$、$f(a)=2a^3-3(a+1)a^2+6a^2=-a^3+3a^2$。

よって $f(1)-f(a)=a^3-3a^2+3a-1=(a-1{)}^3$。

(i) $a>1$ のとき、$x=1$ で極大、$x=a$ で極小。(極大値)−(極小値)$=f(1)-f(a)=(a-1{)}^3=8$ より $a-1=2$、$a=3$。これは $a>1$ を満たす。

(ii) $a<1$ のとき、$x=a$ で極大、$x=1$ で極小。(極大値)−(極小値)$=f(a)-f(1)=-(a-1{)}^3=8$ より $a-1=-2$、$a=-1$。これは $a<1$ を満たす。

検算：$a=3$ のとき $f(1)=8$、$f(3)=54-108+54=0$ で差は8。$a=-1$ のとき $f(x)=2x^3-6x$、$f(-1)=4$、$f(1)=-4$ で差は8。

答え：$a=-1,3$