凸最適化・組合せ最適化の問題

${\mathcal{S}}^3$ を $3$ 次実対称行列全体とし、$X⪰O$ は $X$ が半正定値であることを表す。$X=(X_{ij})\in {\mathcal{S}}^3$ を変数とする次の半正定値計画問題 $(\mathrm{P})$ を考える。
$$(\mathrm{P})\text{minimize}2X_{12}+2X_{13}+4X_{23}\text{subject to}{X}_{11}=X_{22}=X_{33}=1,X⪰O.$$
$(\mathrm{P})$ の最適値を求めよ。

${\mathcal{S}}^4$ を $4$ 次実対称行列全体とし、$A,B\in {\mathcal{S}}^4$ に対して $⟨A,B⟩=\mathrm{tr}(AB)={\sum }_{i,j}{A}_{ij}{B}_{ij}$ と定める。$X⪰O$ は $X$ が半正定値であることを表す。行列 $C\in {\mathcal{S}}^4$ を
$$C=\left(\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 1\\ 1& 0& 1& 0\\ 0& 1& 0& 1\\ 1& 0& 1& 0\end{array}\right)$$
とし、$X=(X_{ij})\in {\mathcal{S}}^4$ を変数とする次の半正定値計画問題 $(\mathrm{P})$ を考える。
$$(\mathrm{P})\text{minimize}⟨C,X⟩\text{subject to}{X}_{ii}=1(i=1,2,3,4),X⪰O$$
$(\mathrm{P})$ の最適値を求めよ。

${\mathcal{S}}^3$ を $3$ 次実対称行列全体とし、$A,B\in {\mathcal{S}}^3$ に対して $⟨A,B⟩=\mathrm{tr}(AB)$ と定める。$X⪰O$ は $X$ が半正定値であることを表す。
$$C=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 1& 0& 2\\ 1& 2& 0\end{array}\right)$$
として、次の半正定値計画問題 $(\mathrm{P})$ を考える。
$$(\mathrm{P})\text{minimize}⟨C,X⟩\text{subject to}{X}_{11}=X_{22}=X_{33}=1,X\in {\mathcal{S}}^3,X⪰O$$
$(\mathrm{P})$ の最適値を求めよ。

${\mathcal{S}}^5$ を $5$ 次実対称行列全体とし、$X⪰O$ は $X$ が半正定値であることを表す。$X=(X_{ij})\in {\mathcal{S}}^5$ を変数とする次の半正定値計画問題 $(\mathrm{P})$ を考える。
$$(\mathrm{P})\text{minimize}f(X)=(X_{12}+X_{23}+X_{34}+X_{45}+X_{15})+\frac{1}{2}(X_{13}+X_{24}+X_{35}+X_{14}+X_{25})$$
$$\text{subject to}{X}_{ii}=1(i=1,2,3,4,5),X⪰O.$$
$(\mathrm{P})$ の最適値（$f(X)$ の最小値）を求めよ。

実数 $x,y$ を変数とする次の最適化問題を考える。ここで、実対称行列 $A$ について $A⪰O$ は $A$ が半正定値であることを表す。
$$\begin{array}{rl}\text{minimize}& x+4y\\ \text{subject to}& \left(\begin{array}{cc}x& 2\\ 2& y\end{array}\right)⪰O\end{array}$$
この問題の最適値（目的関数の最小値）を求めよ。