図形と方程式の問題

方針 円 $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$ 上の点 $(x_1,y_1)$ における接線の方程式は
$$(x_1-a)(x-a)+(y_1-b)(y-b)=r^2$$
である。これを使う。

手順 1：点 P が円上にあることを確かめる $(5-2{)}^2+(5-1{)}^2=9+16=25$ なので、点 $\mathrm{P}(5,5)$ は円上にある。

手順 2：公式に代入する この円は中心 $(2,1)$、半径 $5$ なので $a=2$, $b=1$, $r^2=25$、接点は $x_1=5$, $y_1=5$ である。公式に代入すると
$$(5-2)(x-2)+(5-1)(y-1)=25$$
$$3(x-2)+4(y-1)=25$$
$$3x-6+4y-4=25$$
$$3x+4y=35$$

手順 3：$y=mx+n$ の形にする $4y=-3x+35$ より
$$y=-\frac{3}{4}x+\frac{35}{4}$$

（確認）中心 $(2,1)$ と $\mathrm{P}(5,5)$ を結ぶ半径の傾きは $\frac{5-1}{5-2}=\frac{4}{3}$ で、接線の傾き $-\frac{3}{4}$ との積は $-1$ となり、接線は半径に垂直になっている。

よって求める右辺は $-\frac{3}{4}x+\frac{35}{4}$ である。

円の中心は $(2,1)$、半径は $5$ である。点 $\mathrm{P}(5,5)$ が円上にあることを確かめる。$(5-2{)}^2+(5-1{)}^2=9+16=25$ で、円の方程式を満たす。

接線の公式 $(x_1-a)(x-a)+(y_1-b)(y-b)=r^2$ に $(x_1,y_1)=(5,5)$, $(a,b)=(2,1)$, $r^2=25$ を代入する。
$3(x-2)+4(y-1)=25$
$3x+4y-10=25$
$4y=-3x+35$
$y=-\frac{3}{4}x+\frac{35}{4}$

検算として、中心から P への直線の傾きは $\frac{5-1}{5-2}=\frac{4}{3}$ である。接線の傾きはこれと垂直なので $-\frac{3}{4}$ となり、上の結果と一致する。また $x=5$ のとき $y=-\frac{15}{4}+\frac{35}{4}=5$ となり、接線は P を通る。

よって $mx+n=-\frac{3}{4}x+\frac{35}{4}$ である。