図形と方程式の問題

確認　点 $\mathrm{P}(5,3)$ を円の方程式に代入すると
$$(5-2{)}^2+(3+1{)}^2=9+16=25$$
なので、$\mathrm{P}$ はたしかに円 $C$ 上の点です。

接線の公式を使う　円 $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$ 上の点 $(x_1,y_1)$ における接線は
$$(x_1-a)(x-a)+(y_1-b)(y-b)=r^2$$
です。円 $C$ では $a=2$, $b=-1$, $r^2=25$、接点は $(x_1,y_1)=(5,3)$ なので
$$(5-2)(x-2)+(3+1)(y+1)=25$$
$$3(x-2)+4(y+1)=25$$
展開して整理すると
$$3x-6+4y+4=25$$
$$3x+4y=27$$

$y=mx+n$ の形にする　$4y=-3x+27$ より
$$y=-\frac{3}{4}x+\frac{27}{4}$$

（別の考え方：中心 $(2,-1)$ と $\mathrm{P}(5,3)$ を結ぶ半径の傾きは $\frac{3-(-1)}{5-2}=\frac{4}{3}$ で、接線はこの半径に垂直なので傾きは $-\frac{3}{4}$。$\mathrm{P}$ を通るので $y-3=-\frac{3}{4}(x-5)$ となり、同じ結果が得られます。）

よって $(m,n)=\left(-\frac{3}{4},\frac{27}{4}\right)$ です。

円 $C$ の中心は $(2,-1)$、半径は $5$。点 $\mathrm{P}(5,3)$ が円上にあるか確認する。$(5-2{)}^2+(3+1{)}^2=9+16=25$ より円上にある。

接線の公式より、点 $(x_1,y_1)$ における接線は $(x_1-2)(x-2)+(y_1+1)(y+1)=25$ である。これに $(x_1,y_1)=(5,3)$ を代入すると $3(x-2)+4(y+1)=25$ となる。

展開すると $3x-6+4y+4=25$、すなわち $3x+4y=27$ である。$y$ について解くと $y=-\frac{3}{4}x+\frac{27}{4}$ となる。

検算: 中心 $(2,-1)$ と P を結ぶ直線の傾きは $\frac{4}{3}$。接線の傾きは $-\frac{3}{4}$ で、積は $-1$ となり垂直である。また P を代入すると $-\frac{15}{4}+\frac{27}{4}=\frac{12}{4}=3$ で一致する。

よって $(m,n)=\left(-\frac{3}{4},\frac{27}{4}\right)$。