図形と方程式の問題

座標平面上に $3$ 点 $\mathrm{A}(4,6)$, $\mathrm{B}(-3,5)$, $\mathrm{C}(4,-2)$ がある。$3$ 点 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$ を通る円を $K$ とする。また、$k$ を実数の定数として、点 $\mathrm{P}(8,1)$ を通り傾きが $k$ の直線を $\ell$ とする。円 $K$ と直線 $\ell$ が異なる $2$ 点で交わるような $k$ の値の範囲を求めよ。

座標平面上に 2 つの円
$$C_1:x^2+y^2=1,C_2:x^2+y^2-8x-4y+11=0$$
がある。$C_1$ と $C_2$ の両方に接する直線（共通接線）のうち、$x$ 軸にも $y$ 軸にも平行でないものは 2 本ある。この 2 本の直線と $y$ 軸で囲まれる三角形の面積を求めよ。

座標平面上に、2 点 $\mathrm{A}(0,4)$, $\mathrm{B}(6,2)$ を通り、中心が直線 $y=x$ 上にある円 $C$ がある。$m$ を実数とし、原点を通る直線 $\ell :y=mx$ を考える。直線 $\ell$ が円 $C$ と異なる 2 点で交わり、その 2 交点を結ぶ線分の長さが $4$ となるような $m$ の値をすべて求めよ。

座標平面上に 2 つの円
$$C_1:x^2+y^2=4,C_2:(x-6{)}^2+(y-3{)}^2=1$$
がある。$C_1$ と $C_2$ の両方に接する直線のうち、$C_1$ と $C_2$ がその直線に関して互いに反対側にあるものはちょうど 2 本ある。この 2 本の直線と $y$ 軸で囲まれた三角形の面積を求めよ。

$a$ を実数の定数とする。座標平面上の円
$$C:x^2+y^2-2ax+2y+a^2-3=0$$
と直線 $\ell :3x+4y-6=0$ が異なる 2 点で交わり、その 2 交点を結ぶ線分の長さが $2\sqrt{3}$ 以上となるような $a$ の値の範囲を求めよ。