オペレーションズ・リサーチの問題

難易度 4大学院入試の標準レベル証明問題大学数学オペレーションズ・リサーチ

ある品目の需要は一定の速さ $D > 0$ （単位時間あたりの個数）で連続的に生じるとする。品切れは許さず、発注した品物は直ちに届く（リードタイム $0$ ）。1 回の発注ごとに固定費 $K > 0$ がかかり、在庫 1 個を単位時間保管するごとに保管費 $h > 0$ がかかる。正の実数 $T$ に対し、「在庫がちょうど $0$ になった時刻ごとに $D T$ 個を発注する」方策（発注間隔 $T$ の方策）の単位時間あたりの平均費用（1 周期 $[0, T]$ の発注費と保管費の和を $T$ で割ったもの）を $C (T)$ とし、 $C (T)$ を最小にする $T$ を $T^{*}$ とする。

いま、発注間隔は基準時間 $T_{B} > 0$ の $2^{k}$ 倍（ $k$ は整数）に限るとする。どのような $D, K, h, T_{B}$ に対しても、ある整数 $k$ が存在して
$\frac{C ( 2 ^{k} T _{B} )}{C ( T ^{*} )} \leq \frac{3}{2 2}$
が成り立つことを証明せよ（ $T^{*}$ が存在することも示すこと）。

この問題で使うもの

経済的発注量（EOQ）（説明と入口の問題）
増減表と極値（説明と入口の問題）
対数の定義と性質（説明と入口の問題）
定積分の計算（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（36 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

まず周期内の在庫の推移から $C (T)$ を式で表し、 $T^{*}$ を求める。そのあと費用比を $x = T / T^{*}$ だけの関数として表す。

ヒント 2

$\frac{C ( T )}{C ( T ^{*} )} = \frac{1}{2} (x + \frac{1}{x})$ となる。この関数の増減と、 $x = \frac{1}{2}$ と $x = 2$ で値が等しいことを使う。

ヒント 3

$C (T) = \frac{K}{T} + \frac{h D}{2} T$ 、 $T^{*} = 2 K / (h D)$ を得たら、 $2^{k} T_{B} / T^{*}$ が区間 $[1/ 2, 2]$ に入るような整数 $k$ を、対数をとって探す。

採点の観点と模範解答

自分で証明を書いてから、採点の観点で見比べてください。

採点の観点を見る

在庫量が $D (T - t)$ で推移することから $C (T) = K / T + h D T /2$ を導いている（2 点）
導関数の符号などで最小点の存在と $T^{*} = 2 K / (h D)$ 、 $C (T^{*}) = 2 K h D$ を示している（2 点）
費用比が $x = T / T^{*}$ の関数 $\frac{1}{2} (x + 1/ x)$ だけで表されることを示している（2 点）
$\frac{1}{2} (x + 1/ x)$ の増減から、 $x \in [1/ 2, 2]$ で比が $3/ (22)$ 以下になることを示している（2 点）
対数（または床関数）を使って $2^{k} T_{B} / T^{*} \in [1/ 2, 2]$ となる整数 $k$ の存在を具体的に示し、結論を述べている（2 点）

結果を記録する（このブラウザにだけ保存されます）:

模範解答を読む

ステップ 1（ $C (T)$ を求める） 発注間隔 $T$ の方策では、周期の始め（時刻 $0$ ）に在庫が $0$ になって $D T$ 個が届き、その後在庫は速さ $D$ で減って時刻 $T$ にちょうど $0$ になる。よって時刻 $t \in [0, T)$ の在庫量は $D T - D t = D (T - t)$ であり、1 周期の保管費は
$h \int_{0}^{T} D (T - t) d t = h \cdot \frac{D T ^{2}}{2} .$
1 周期の発注費は $K$ なので
$C (T) = \frac{K + \frac{h D T ^{2}}{2}}{T} = \frac{K}{T} + \frac{h D}{2} T (T > 0) .$

ステップ 2（ $T^{*}$ と $C (T^{*})$ ） $C^{'} (T) = - \frac{K}{T ^{2}} + \frac{h D}{2}$ は $T > 0$ で狭義単調増加で、 $C^{'} (T) = 0$ となるのは $T = \frac{2 K}{h D}$ のときだけである。 $0 < T < 2 K / (h D)$ で $C^{'} < 0$ 、 $T > 2 K / (h D)$ で $C^{'} > 0$ なので、 $C$ は
$T^{*} = \frac{2 K}{h D}$
で最小となる（最小点は存在してただ 1 つ）。このとき $\frac{K}{T ^{*}} = \frac{K h D}{2}$ 、 $\frac{h D}{2} T^{*} = \frac{K h D}{2}$ なので $C (T^{*}) = 2 K h D$ 。

ステップ 3（費用比を 1 変数の関数で表す） $x = T / T^{*} > 0$ とおくと、 $K = \frac{h D}{2} (T^{*})^{2}$ を使って
$C (T) = \frac{h D}{2} (\frac{( T ^{*} ) ^{2}}{T} + T) = \frac{h D}{2} T^{*} (\frac{1}{x} + x), C (T^{*}) = \frac{h D}{2} T^{*} \cdot 2.$
よって
$\frac{C ( T )}{C ( T ^{*} )} = f (x), f (x) = \frac{1}{2} (x + \frac{1}{x}) .$
$f^{'} (x) = \frac{1}{2} (1 - \frac{1}{x ^{2}})$ は $0 < x < 1$ で負、 $x > 1$ で正なので、 $f$ は $(0, 1]$ で単調減少、 $[1, \infty)$ で単調増加である。したがって閉区間 $[\frac{1}{2}, 2]$ 上での $f$ の最大値は両端の値の大きい方であり、
$f (\frac{1}{2}) = f (2) = \frac{1}{2} (2 + \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{2 2} .$
すなわち $\frac{1}{2} \leq x \leq 2$ ならば $f (x) \leq \frac{3}{2 2}$ 。

ステップ 4（条件を満たす $k$ の存在） $\frac{2 ^{k} T _{B}}{T ^{*}} \in [\frac{1}{2}, 2]$ となる整数 $k$ があることを示す。底 $2$ の対数をとると、この条件は
$- \frac{1}{2} \leq k + lo g_{2} \frac{T _{B}}{T ^{*}} \leq \frac{1}{2}$
と同値である。 $c = lo g_{2} \frac{T _{B}}{T ^{*}}$ は実数なので、 $k = ⌊ \frac{1}{2} - c ⌋$ とおくと $\frac{1}{2} - c - 1 < k \leq \frac{1}{2} - c$ 、すなわち $- \frac{1}{2} < k + c \leq \frac{1}{2}$ となり、条件を満たす。

ステップ 5（結論） この $k$ について $x = \frac{2 ^{k} T _{B}}{T ^{*}} \in [\frac{1}{2}, 2]$ なので、ステップ 3 より
$\frac{C ( 2 ^{k} T _{B} )}{C ( T ^{*} )} = f (x) \leq \frac{3}{2 2} .$
よって、どのような $D, K, h, T_{B}$ に対しても条件を満たす整数 $k$ が存在する。 $■$

この問題の確認

AI が作成した問題です。公開前に次の確認を行いました。

別の AI が模範解答を見ずに 3 回証明を試み、3 回証明できました
2 つの AI が独立に、模範解答の証明を 1 ステップずつ確かめました
AI の査読で、条件・解説・表記を確認しました
答えの正しさについて慎重に扱うべき点が見つからなかったため、自動で公開しました

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発注量 $Q$	単価
$1 \leq Q < 500$	$1000$ 円
$500 \leq Q < 1500$	$960$ 円
$1500 \leq Q$	$945$ 円