三角関数の問題

$\tan$ の値を求める。 比の条件から、ある実数 $k\ne 0$ を用いて
$$\tan A=k,\tan B=3k,\tan C=4k$$
とおける。

三角形の内角のうち鈍角になりうるのは高々 $1$ つで、鈍角の $\tan$ だけが負になる。もし $k<0$ なら $3$ つの $\tan$ がすべて負、すなわち $3$ つの角がすべて鈍角となり不合理である。よって $k>0$ であり、$A,B,C$ はすべて鋭角である。

関係式を導く。 $A+B+C=\pi$ より $A+B=\pi -C$ なので
$$\tan (A+B)=\tan (\pi -C)=-\tan C.$$
ここで $C\ne \frac{\pi }{2}$ より $A+B\ne \frac{\pi }{2}$ である。したがって $1-\tan A\tan B\ne 0$ であり、加法定理が使える。
$$\frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A\tan B}=-\tan C$$
分母を払って整理すると
$$\tan A+\tan B+\tan C=\tan A\tan B\tan C.$$

$k$ を決める。 上の式に代入すると
$$k+3k+4k=k\cdot 3k\cdot 4k\text{すなわち}8k=12k^3.$$
$k>0$ より $k^2=\frac{2}{3}$ である。よって
$${\tan }^{2}A=\frac{2}{3},{\tan }^{2}C=16k^2=\frac{32}{3}.$$

$\sin$ の値を求める。 $1+{\tan }^2\theta =\frac{1}{{\cos }^2\theta }$ より
$${\sin }^2\theta =1-{\cos }^2\theta =\frac{{\tan }^2\theta }{1+{\tan }^2\theta }$$
が成り立つ。これを使うと
$${\sin }^{2}A=\frac{\frac{2}{3}}{1+\frac{2}{3}}=\frac{2}{5},{\sin }^{2}C=\frac{\frac{32}{3}}{1+\frac{32}{3}}=\frac{32}{35}.$$

正弦定理を使う。 $\mathrm{AB}$ は角 $C$ の対辺、$\mathrm{BC}$ は角 $A$ の対辺なので
$$\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}=\frac{\sin C}{\sin A}.$$
$${\left(\frac{\sin C}{\sin A}\right)}^2=\frac{32}{35}\cdot \frac{5}{2}=\frac{16}{7}$$
であり、$\sin A>0,\sin C>0$ だから
$$\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}=\frac{4}{\sqrt{7}}=\frac{4\sqrt{7}}{7}.$$

(確認: $\tan A=\frac{\sqrt{6}}{3}$, $\tan B=\sqrt{6}$, $\tan C=\frac{4\sqrt{6}}{3}$ はすべて正であり、上の関係式を満たすことから、条件をみたす三角形が実際に存在する。)

$\tan A=k,\tan B=3k,\tan C=4k$ とおく。$A+B+C=\pi$ より $\tan A+\tan B+\tan C=\tan A\tan B\tan C$ が成り立つ。これに代入すると $8k=12k^3$。$k\ne 0$ なので（$k=0$ だと比が成立しない）$k^2=\frac{2}{3}$。

$k<0$ とすると三つの角すべてが鈍角になり不適なので、$k>0$ で $k=\sqrt{6}/3$。よって $\tan A=\frac{\sqrt{6}}{3}$、$\tan C=\frac{4\sqrt{6}}{3}$。

${\sin }^{2}A=\frac{{\tan }^{2}A}{1+{\tan }^{2}A}=\frac{2/3}{5/3}=\frac{2}{5}$、${\sin }^{2}C=\frac{32/3}{35/3}=\frac{32}{35}$。角はいずれも鋭角なので $\sin$ は正。

正弦定理より $\frac{AB}{BC}=\frac{\sin C}{\sin A}=\sqrt{\frac{32/35}{2/5}}=\sqrt{\frac{16}{7}}=\frac{4}{\sqrt{7}}=\frac{4\sqrt{7}}{7}$。

検算：$\tan B=\sqrt{6}$ で、三つの正接の和は $\frac{\sqrt{6}}{3}+\sqrt{6}+\frac{4\sqrt{6}}{3}=\frac{8\sqrt{6}}{3}$、積は $\frac{\sqrt{6}}{3}\cdot \sqrt{6}\cdot \frac{4\sqrt{6}}{3}=\frac{24\sqrt{6}}{9}=\frac{8\sqrt{6}}{3}$ で一致する。