集合と位相の問題

${\mathbb{Z}}_{>0}$ を正の整数全体の集合とする。直積 ${\mathbb{Z}}_{>0}\times {\mathbb{Z}}_{>0}$ の濃度が ${\aleph }_0$ であることを示すために、その元 $(m,n)$ を次の規則で一列に並べる。

• $m+n$ の値が小さいものから順に並べる。
• $m+n$ の値が等しいものどうしは、$m$ の値が小さいものから順に並べる。

こうして得られる列は
$$(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),\dots$$
となる。この列の $k$ 番目の元を $\phi (k)$ とおくと、$\phi :{\mathbb{Z}}_{>0}\to {\mathbb{Z}}_{>0}\times {\mathbb{Z}}_{>0}$ は全単射になる。$\phi (k)=(3,5)$ となる正の整数 $k$ を求めよ。

正の整数全体の集合を ${\mathbb{Z}}_{>0}$ とする。直積 ${\mathbb{Z}}_{>0}\times {\mathbb{Z}}_{>0}$ の元 $(m,n)$ を、次の規則で一列に並べる。

• $m+n$ の値が小さいものほど先に並べる。
• $m+n$ の値が等しいものどうしでは、$m$ が小さいものほど先に並べる。

この並べ方では、列は $(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),\dots$ となる。先頭から $1$ 番目、$2$ 番目、$\dots$ と番号を付けると、$(m,n)$ にその番号を対応させる写像 $\phi :{\mathbb{Z}}_{>0}\times {\mathbb{Z}}_{>0}\to {\mathbb{Z}}_{>0}$ は全単射になる。このことから ${\mathbb{Z}}_{>0}\times {\mathbb{Z}}_{>0}$ の濃度は ${\aleph }_0$ である。

このとき、$\phi (4,7)$ の値を求めよ。

0 以上の整数 $n$ に対して、基数 ${\beth }_n$ を次のように定める。
$${\beth }_0={\aleph }_0,{\beth }_{n+1}=2^{{\beth }_n}(n=0,1,2,\dots )$$
たとえば ${\beth }_1=2^{{\aleph }_0}=\mathfrak{c}$（実数全体の集合 $\mathbb{R}$ の濃度）である。

実数全体の集合 $\mathbb{R}$ から $\mathbb{R}$ への写像全体の集合を ${\mathbb{R}}^{\mathbb{R}}$ とする。${\mathbb{R}}^{\mathbb{R}}$ の濃度が ${\beth }_n$ に等しくなるような 0 以上の整数 $n$ を求めよ。

$\mathbb{R}$ を実数全体の集合、${\aleph }_0$ を正の整数全体の集合の濃度とする。基数の列 ${\kappa }_0,{\kappa }_1,{\kappa }_2,\dots$ を
$${\kappa }_0={\aleph }_0,{\kappa }_{n+1}=2^{{\kappa }_n}(n=0,1,2,\dots )$$
で定める。カントールの定理により ${\kappa }_0<{\kappa }_1<{\kappa }_2<\cdots$ である。

写像 $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 全体の集合を $F$ とする。$F$ の濃度が ${\kappa }_n$ に等しくなるような 0 以上の整数 $n$ を求めよ。

${\mathbb{Z}}_{>0}$ を正の整数全体の集合、$\mathcal{P}({\mathbb{Z}}_{>0})$ をそのべき集合とする。写像 $f:{\mathbb{Z}}_{>0}\to \mathcal{P}({\mathbb{Z}}_{>0})$ を
$$f(n)=\{k\in {\mathbb{Z}}_{>0}\mid k\le (n-3{)}^2\}$$
で定める（たとえば $f(3)=\varnothing$ である）。カントールの対角線論法で用いる集合
$$D=\{n\in {\mathbb{Z}}_{>0}\mid n\notin f(n)\}$$
を求めよ。