集合と位相の問題

方針　まず写像全体を数えます。そこから、$B$ のどれかの元が値として現れない写像を、包除原理で取り除きます。

ステップ 1：写像全体の個数
$A$ の各元 $1,2,3,4,5$ の行き先を、それぞれ $B$ の $4$ 個の元から選ぶので、写像 $f:A\to B$ は全部で $4^5=1024$ 個あります。

ステップ 2：取り除く条件を集合で表す
$y\in B$ に対して、
$$A_y=\{f\mid y\notin f(A)\}$$
とおきます。これは「$y$ が値として現れない写像」の集合です。$f$ が全射であることは、$f$ が $A_a,A_b,A_c,A_d$ のどれにも属さないことと同じです。したがって、求める個数は $\left|\overline{A_a}\cap \overline{A_b}\cap \overline{A_c}\cap \overline{A_d}\right|$ です。

ステップ 3：$k$ 個の $A_y$ の共通部分の大きさ
$B$ から $k$ 個の元を選び、それらがどれも値として現れない写像を考えます。このとき行き先は残りの $4-k$ 個の元に限られるので、その個数は $(4-k{)}^5$ です。$k$ 個の元の選び方は $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{k}\right)$ 通りあり、どの選び方でも個数は同じです（条件が対称）。

ステップ 4：包除原理を適用する
$$\sum _{k=0}^4(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{k})(4-k{)}^5=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{0}\right)4^5-\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{1}\right)3^5+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)2^5-\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{3}\right)1^5+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{4}\right)0^5$$
各項を計算すると
$$=1024-4\cdot 243+6\cdot 32-4\cdot 1+0=1024-972+192-4=240$$
となります。

検算　$5$ 個の元を $4$ 個の値に全部割り振るには、ちょうど $1$ つの値に $2$ 個の元が行き、残りの値に $1$ 個ずつ行くしかありません。
- 同じ値に行く $2$ 個の元の選び方：$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}\right)=10$ 通り
- できた $4$ つのまとまりを $a,b,c,d$ に割り当てる方法：$4!=24$ 通り

よって $10\times 24=240$ となり、上の結果と一致します。

答え：$240$ 個

全射 $f:A\to B$ の個数は包除原理で求める。$|A|=5$, $|B|=4$ なので、個数は ${\sum }_{k=0}^4(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{k})(4-k{)}^5$ である。

各項は次のとおり。
- $k=0$: $4^5=1024$
- $k=1$: $-4\cdot 3^5=-972$
- $k=2$: $+6\cdot 2^5=192$
- $k=3$: $-4\cdot 1^5=-4$
- $k=4$: $0$

合計は $1024-972+192-4=240$。

検算: 全射では、B の 1 つの元だけが 2 個の元の像になり、他の元は 1 個ずつの像になる。2 個の像になる B の元の選び方は 4 通り。A から 2 個を選んでその元に対応させる方法は $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}\right)=10$ 通り。残り 3 個の A の元を B の残り 3 元に 1 対 1 に対応させる方法は $3!=6$ 通り。よって $4\cdot 10\cdot 6=240$ となり、一致する。

また、$4!S(5,4)=24\cdot 10=240$ とも一致する。