運動とエネルギーの問題

なめらかな斜面と、その下になめらかにつながった水平な面からなるレールがある。斜面の上の点 P に台車を置き、台車に紙テープをつけて、1 秒間に 60 回打点する記録タイマーに通した。打点を始めると同時に台車から静かに手をはなしたところ、台車は斜面を下り、水平な面に進んだ。水平な面の上には、点 P からレールにそって $181.5\text{cm}$ の位置に車止めがあり、台車はそこで止まった。

記録された紙テープを、打点を始めた点から 6 打点間隔ごとに切り、切った順に 1 本目、2 本目、…とした。1 本目から 8 本目までのテープの長さは、順に次のようであった。

$2.0\text{cm}$, $6.0\text{cm}$, $10.0\text{cm}$, $14.0\text{cm}$, $18.0\text{cm}$, $21.5\text{cm}$, $22.0\text{cm}$, $22.0\text{cm}$

台車は 6 本目のテープを記録している途中で水平な面に入り、その後は車止めに当たるまで一定の速さで一直線に進んだ。また、8 本目より後のテープは、車止めに当たる直前の最後の 1 本を除いて、どれも長さが $22.0\text{cm}$ であった。

台車が手をはなされてから車止めに当たるまでの平均の速さは何 cm/s ですか。ただし、レールと台車のあいだの摩擦や空気の抵抗、紙テープと記録タイマーのあいだの摩擦は考えないものとする。

水平な机の上に置いた台車に糸をつけ、糸を机の端の滑車にかけて、糸の先におもりをつるした。台車には紙テープをつけ、1 秒間に 50 回打点する記録タイマーに通した。記録タイマーで打点を始めてから台車を動かしたところ、台車は机の上を一直線に動いた。

記録された紙テープを、はっきり打点が読みとれる点から 5 打点ごと（打点の間隔 5 つ分ごと）に切り、順に 1 本目、2 本目、…とした。1 本目から 4 本目のテープの長さは、順に $2.0\text{cm}$、$3.6\text{cm}$、$5.2\text{cm}$、$6.8\text{cm}$ であった。また、1 本目から 8 本目までは、どのテープも 1 本前のテープより同じ長さだけ長くなっていた。

1 本目のテープの始めの打点が打たれてから、8 本目のテープの終わりの打点が打たれるまでの、台車の平均の速さは何 cm/s ですか。

斜面と、その下になめらかにつながった水平な面とからなるレールを使って、次の実験を行った。

【実験】水平な面の上に木片を置き、斜面の上に置いた小球から静かに手をはなして、小球を木片に衝突させた。小球をはなす高さ（水平な面からの高さ）と小球の質量を変えて、木片が動いた距離を調べたところ、次の結果になった。
- 質量 $50\text{g}$ の小球を高さ $5\text{cm}$ からはなしたとき: $2\text{cm}$
- 質量 $50\text{g}$ の小球を高さ $10\text{cm}$ からはなしたとき: $4\text{cm}$
- 質量 $50\text{g}$ の小球を高さ $15\text{cm}$ からはなしたとき: $6\text{cm}$
- 質量 $100\text{g}$ の小球を高さ $10\text{cm}$ からはなしたとき: $8\text{cm}$

次に、同じつくりのレールを、水平な面が床から高さ $10\text{cm}$ になるように台の上に置き、水平な面の上に同じ木片を置いた。質量 $75\text{g}$ の小球を、床からの高さが $40\text{cm}$ の斜面上の点から静かにはなし、木片に衝突させた。木片は何 cm 動きますか。ただし、レールはなめらかで、小球とレールの間の摩擦や空気の抵抗は考えないものとします。また、木片と水平な面の間の摩擦のはたらき方はどの場合も同じで、衝突のようすも実験と同じであるとします。

モーターを電源装置につなぎ、モーターで糸を巻き取って物体を引き上げる実験を行った。質量 $100\text{g}$ の物体にはたらく重力の大きさを $1\text{N}$ とし、糸の質量、糸と斜面の間の摩擦、空気の抵抗は考えないものとする。

【実験1】モーターに $5.0\text{V}$ の電圧を加えたところ、$0.40\text{A}$ の電流が流れた。このとき、モーターで質量 $300\text{g}$ の物体を真上に一定の速さで引き上げたところ、$1.2\text{m}$ 引き上げるのに $6.0$ 秒かかった。

【実験2】水平な床の上に、なめらかな斜面 AB をつくった。点 A は斜面の下端で床の上にあり、点 B は斜面の上端、点 C は点 B の真下にある床の上の点である。斜面 AB の長さは $2.0\text{m}$、高さ BC は $0.50\text{m}$ である。点 B の位置にモーターを固定し、モーターから出した糸を斜面に平行に張って、斜面の上に置いた質量 $1.2\text{kg}$ の台車につないだ。モーターに $8.0\text{V}$ の電圧を加えたところ $0.50\text{A}$ の電流が流れ、台車は斜面にそって点 A から点 B まで一定の速さで引き上げられた。

モーターが消費した電気エネルギーのうち、物体（台車）を引き上げる仕事に変わった割合は、実験1と実験2で同じであったとする。実験2で、台車が斜面を上る速さは何 cm/s ですか。

左右の斜面と、その間の水平な面とからなるレールがある。斜面と水平な面はなめらかにつながっている。水平な面の途中に長さ $40\text{cm}$ の区間 PQ があり、区間 PQ だけは表面があらく、小球が区間 PQ を通過するときには摩擦力がはたらく。レールの区間 PQ 以外の部分はなめらかである。

左の斜面の、水平な面からの高さが $50\text{cm}$ の点に小球を置いて静かに手をはなしたところ、小球は斜面を下り、区間 PQ を P から Q へ 1 回通過して、右の斜面を水平な面から高さ $35\text{cm}$ の点まで上がった。その後、小球は左右の斜面の間を往復し、区間 PQ を何回か通過して、やがて区間 PQ の中で止まった。小球が区間 PQ を端から端まで通過したのは、全部で何回ですか。ただし、小球が区間 PQ を通過するとき、摩擦力によって失われる力学的エネルギーは、区間 PQ の中を進んだ距離に比例するものとします。また、空気の抵抗は考えず、小球の大きさは考えないものとします。