運動とエネルギーの問題

左右の斜面と、その間の水平な面とからなるレールがある。斜面と水平な面はなめらかにつながっている。水平な面の途中に長さ $40\text{cm}$ の区間 PQ があり、区間 PQ だけは表面があらく、小球が区間 PQ を通過するときには摩擦力がはたらく。レールの区間 PQ 以外の部分はなめらかである。

左の斜面の、水平な面からの高さが $50\text{cm}$ の点に小球を置いて静かに手をはなしたところ、小球は斜面を下り、区間 PQ を P から Q へ 1 回通過して、右の斜面を水平な面から高さ $35\text{cm}$ の点まで上がった。その後、小球は左右の斜面の間を往復し、区間 PQ を何回か通過して、やがて区間 PQ の中で止まった。小球が区間 PQ を端から端まで通過したのは、全部で何回ですか。ただし、小球が区間 PQ を通過するとき、摩擦力によって失われる力学的エネルギーは、区間 PQ の中を進んだ距離に比例するものとします。また、空気の抵抗は考えず、小球の大きさは考えないものとします。

なめらかな斜面と、その下になめらかにつながった水平な面からなるレールがある。斜面の上の点 P に台車を置き、台車に紙テープをつけて、1 秒間に 60 回打点する記録タイマーに通した。打点を始めると同時に台車から静かに手をはなしたところ、台車は斜面を下り、水平な面に進んだ。水平な面の上には、点 P からレールにそって $181.5\text{cm}$ の位置に車止めがあり、台車はそこで止まった。

記録された紙テープを、打点を始めた点から 6 打点間隔ごとに切り、切った順に 1 本目、2 本目、…とした。1 本目から 8 本目までのテープの長さは、順に次のようであった。

$2.0\text{cm}$, $6.0\text{cm}$, $10.0\text{cm}$, $14.0\text{cm}$, $18.0\text{cm}$, $21.5\text{cm}$, $22.0\text{cm}$, $22.0\text{cm}$

台車は 6 本目のテープを記録している途中で水平な面に入り、その後は車止めに当たるまで一定の速さで一直線に進んだ。また、8 本目より後のテープは、車止めに当たる直前の最後の 1 本を除いて、どれも長さが $22.0\text{cm}$ であった。

台車が手をはなされてから車止めに当たるまでの平均の速さは何 cm/s ですか。ただし、レールと台車のあいだの摩擦や空気の抵抗、紙テープと記録タイマーのあいだの摩擦は考えないものとする。

なめらかな斜面と水平面をなめらかにつなぎ、水平面の上に木片を置きました。質量 $50\text{g}$ の小球を斜面の上で静かにはなし、斜面を下って木片に衝突させて、木片が水平面の上を動いた距離を調べました。小球をはなす高さ（水平面からの高さ）を $10\text{cm}$ にしたところ、木片は $4\text{cm}$ 動きました。この実験では、同じ小球を使うとき、木片が動く距離は小球をはなす高さに比例することがわかっています。同じ小球を高さ $25\text{cm}$ からはなしたとき、木片は何 cm 動きますか。ただし、木片は毎回同じ位置に置き、木片と水平面のあいだの摩擦の大きさは毎回同じであるとします。

1 秒間に 60 回打点する記録タイマーを使って、台車の運動を調べた。なめらかな斜面の上に台車を置き、台車に紙テープをつけて、記録タイマーの打点を始めると同時に台車から静かに手をはなした。台車は斜面を下り、斜面の下でなめらかにつながった水平な床の上を進んだ。斜面や床と台車の間の摩擦、紙テープと記録タイマーの間の摩擦、空気の抵抗は考えないものとする。

記録された紙テープを、打点を始めた点から 6 打点ごとに切り、順に テープ 1、テープ 2、テープ 3、… とした。すると、テープ 1 の長さは 0.6 cm、テープ 2 の長さは 1.8 cm で、台車が斜面を下っている間は、テープの長さが 1 本ごとに同じ長さずつ長くなっていた。台車はテープ 5 を記録し終えた瞬間に斜面を下り終えて水平な床に入り、それ以降のテープの長さはどれも 6.0 cm であった。

台車が動き始めてから、それまでの平均の速さがちょうど 40 cm/s になるのは、動き始めてから何秒後ですか。

モーターを電源装置につなぎ、モーターで糸を巻き取って物体を引き上げる実験を行った。質量 $100\text{g}$ の物体にはたらく重力の大きさを $1\text{N}$ とし、糸の質量、糸と斜面の間の摩擦、空気の抵抗は考えないものとする。

【実験1】モーターに $5.0\text{V}$ の電圧を加えたところ、$0.40\text{A}$ の電流が流れた。このとき、モーターで質量 $300\text{g}$ の物体を真上に一定の速さで引き上げたところ、$1.2\text{m}$ 引き上げるのに $6.0$ 秒かかった。

【実験2】水平な床の上に、なめらかな斜面 AB をつくった。点 A は斜面の下端で床の上にあり、点 B は斜面の上端、点 C は点 B の真下にある床の上の点である。斜面 AB の長さは $2.0\text{m}$、高さ BC は $0.50\text{m}$ である。点 B の位置にモーターを固定し、モーターから出した糸を斜面に平行に張って、斜面の上に置いた質量 $1.2\text{kg}$ の台車につないだ。モーターに $8.0\text{V}$ の電圧を加えたところ $0.50\text{A}$ の電流が流れ、台車は斜面にそって点 A から点 B まで一定の速さで引き上げられた。

モーターが消費した電気エネルギーのうち、物体（台車）を引き上げる仕事に変わった割合は、実験1と実験2で同じであったとする。実験2で、台車が斜面を上る速さは何 cm/s ですか。