運動とエネルギーの問題
左右の斜面と、その間の水平な面とからなるレールがある。斜面と水平な面はなめらかにつながっている。水平な面の途中に長さ の区間 PQ があり、区間 PQ だけは表面があらく、小球が区間 PQ を通過するときには摩擦力がはたらく。レールの区間 PQ 以外の部分はなめらかである。
左の斜面の、水平な面からの高さが の点に小球を置いて静かに手をはなしたところ、小球は斜面を下り、区間 PQ を P から Q へ 1 回通過して、右の斜面を水平な面から高さ の点まで上がった。その後、小球は左右の斜面の間を往復し、区間 PQ を何回か通過して、やがて区間 PQ の中で止まった。小球が区間 PQ を端から端まで通過したのは、全部で何回ですか。ただし、小球が区間 PQ を通過するとき、摩擦力によって失われる力学的エネルギーは、区間 PQ の中を進んだ距離に比例するものとします。また、空気の抵抗は考えず、小球の大きさは考えないものとします。
この問題で使うもの
- 力学的エネルギーの保存（説明と入口の問題）
この問題を解けるようになるまで（4 技能）
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ヒント
行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。
ヒント 1
区間 PQ 以外では力学的エネルギーが保存されます。区間 PQ を 1 回通過すると、力学的エネルギーがどれだけ減るかを、高さで表して考えましょう。
ヒント 2
1 回目の通過で、高さ 分から 分に減っています。失われるエネルギーは進んだ距離に比例するので、毎回同じだけ減ります。
ヒント 3
1 回通過するごとに 分ずつ減ります。 分から 分ずつ引いていき、端まで通過できなくなるのは何回目かを調べましょう。
答えと解説
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解説を読む
小球の力学的エネルギーを、「水平な面からの高さ何 cm 分の位置エネルギーに相当するか」で表して考える（小球の質量は変わらないので、位置エネルギーは高さに比例する）。
1 回通過するごとに失われるエネルギー
区間 PQ 以外はなめらかで空気の抵抗もないので、区間 PQ の外では力学的エネルギーが保存される。はじめは高さ 分、区間 PQ を 1 回通過したあとは高さ 分なので、区間 PQ を端から端まで 1 回通過すると
分の力学的エネルギーが失われる。失われるエネルギーは進んだ距離に比例するので、何回目の通過でも、端から端まで通過すれば同じく 分が失われる。
通過の回数
- 1 回通過したあと: 分
- 2 回通過したあと: 分
- 3 回通過したあと: 分
4 回目に区間 PQ に入るとき、小球の力学的エネルギーは 分しか残っておらず、端から端まで通過するのに必要な 分より少ない。したがって、小球は 4 回目の途中（区間に入ってから 進んだところ）で止まる。
よって、小球が区間 PQ を端から端まで通過したのは 回である。
別解
区間 PQ をはじめて通過したとき、小球の高さ（力学的エネルギーを水平な面からの高さで表したもの）は から になったので、PQ を端から端まで 1 回通過するごとに、高さ 分の力学的エネルギーが失われる（摩擦力は一定で、失われるエネルギーは進んだ距離に比例する）。
PQ を通過するたびの高さ: 1 回目 、2 回目 、3 回目 （単位 cm）。
3 回通過したあとの高さは で、まだ ではない。このあと斜面を の高さまで上がって下り、4 回目の PQ に入る。4 回目は、 分のエネルギーを使い切るまでに 進んで PQ の中で止まるので、端から端まで通過することはできない。
よって端から端まで通過したのは 回。
検算: 、 なので、3 回通過したあとに止まる区間は 4 回目の PQ の途中。