関数の問題

反比例 $y=\frac{a}{x}$ のグラフが点 $\mathrm{A}(2,6)$ を通っている。このグラフ上に、$x$ 座標が $8$ である点 $\mathrm{B}$ をとる。原点を $\mathrm{O}$ とする。
原点 $\mathrm{O}$ を通り、$△\mathrm{OAB}$ の面積を 2 等分する直線を $y=bx$ とするとき、$b$ の値を求めよ。ただし、$a$, $b$ は定数とする。

座標平面上に、2 直線 $\ell :y=\frac{1}{2}x+3$ と $m:y=-2x+8$ がある。直線 $\ell$ と $x$ 軸の交点を $\mathrm{A}$、直線 $m$ と $x$ 軸の交点を $\mathrm{B}$、直線 $\ell$ と直線 $m$ の交点を $\mathrm{C}$ とする。

$x$ 座標と $y$ 座標がともに整数である点のうち、$△\mathrm{ABC}$ の内部にある点の個数を求めなさい。ただし、$△\mathrm{ABC}$ の辺上にある点は含めない。

反比例 $y=\frac{24}{x}$ $(x>0)$ のグラフ上に、$x$ 座標が $2$ である点 $\mathrm{A}$ と、$x$ 座標が $8$ である点 $\mathrm{B}$ をとる。原点を $\mathrm{O}$ とする。

比例 $y=ax$ のグラフが線分 $\mathrm{AB}$ と交わる点を $\mathrm{P}$ とする。$△\mathrm{OAP}$ と $△\mathrm{OPB}$ の面積の比が $1:2$ となるとき、$a$ の値を求めよ。

反比例 $y=\frac{a}{x}$ のグラフが点 $\mathrm{A}(2,6)$ を通っている。このグラフ上で $x$ 座標が $6$ である点を $\mathrm{B}$ とし、点 $\mathrm{B}$ から $x$ 軸に垂線をひき、$x$ 軸との交点を $\mathrm{C}$ とする。原点を $\mathrm{O}$ とする。

比例のグラフ $y=mx$ が四角形 $\mathrm{OCBA}$ の面積を 2 等分するとき、比例定数 $m$ の値を求めなさい。

関数 $y=\frac{1}{2}{x}^2$ のグラフ上に、$x$ 座標が $-2$ である点 $\mathrm{A}$ と、$x$ 座標が $4$ である点 $\mathrm{B}$ がある。原点を $\mathrm{O}$ とする。

$y$ 軸上に点 $\mathrm{C}$ を、$△\mathrm{ABC}$ の面積が $△\mathrm{OAB}$ の面積の $3$ 倍になるようにとる。点 $\mathrm{C}$ の $y$ 座標が正であるとき、点 $\mathrm{C}$ の座標を求めよ。