関数の問題

点 $\mathrm{A}$ の $y$ 座標は $\frac{1}{2}\times (-2{)}^2=2$、点 $\mathrm{B}$ の $y$ 座標は $\frac{1}{2}\times 4^2=8$ なので、$\mathrm{A}(-2,2)$、$\mathrm{B}(4,8)$ である。

直線 $\mathrm{AB}$ の傾きは
$$\frac{8-2}{4-(-2)}=\frac{6}{6}=1$$
なので、直線 $\mathrm{AB}$ の式を $y=x+b$ とおく。点 $\mathrm{A}$ を通るから $2=-2+b$ より $b=4$。よって直線 $\mathrm{AB}$ は $y=x+4$ で、$y$ 軸との交点を $\mathrm{D}$ とすると $\mathrm{D}(0,4)$ である。

$△\mathrm{OAB}$ を $y$ 軸で $△\mathrm{OAD}$ と $△\mathrm{OBD}$ に分けると、どちらも底辺 $\mathrm{OD}=4$ で、高さはそれぞれ $2$、$4$ だから
$$△\mathrm{OAB}=\frac{1}{2}\times 4\times 2+\frac{1}{2}\times 4\times 4=4+8=12$$

点 $\mathrm{C}$ の座標を $(0,c)$ とする。$△\mathrm{ABC}$ も同じように $y$ 軸で分けると、底辺は $\mathrm{CD}$、高さは $2$ と $4$ なので
$$△\mathrm{ABC}=\frac{1}{2}\times \mathrm{CD}\times (2+4)=3\times \mathrm{CD}$$

$△\mathrm{ABC}=3\times 12=36$ だから
$$3\times \mathrm{CD}=36,\mathrm{CD}=12$$

点 $\mathrm{C}$ は $\mathrm{D}(0,4)$ から $y$ 軸上で $12$ だけはなれた点なので、$c=4+12=16$ または $c=4-12=-8$ である。$y$ 座標が正であるから $c=16$。

よって、点 $\mathrm{C}$ の座標は $(0,16)$ である。

点 A は $y=\frac{1}{2}\times (-2{)}^2=2$ より A$(-2,2)$、点 B は $y=\frac{1}{2}\times 4^2=8$ より B$(4,8)$。
直線 AB の傾きは $\frac{8-2}{4-(-2)}=1$、切片は $2=-2+b$ より $b=4$ なので、直線 AB は $y=x+4$。$y$ 軸との交点を M$(0,4)$ とする。
$△\mathrm{OAB}=△\mathrm{OAM}+△\mathrm{OBM}=\frac{1}{2}\times 4\times 2+\frac{1}{2}\times 4\times 4=4+8=12$。
点 C$(0,c)$ とすると、$△\mathrm{ABC}=\frac{1}{2}\times \mathrm{CM}\times (2+4)=3|c-4|$。
条件より $3|c-4|=3\times 12=36$、$|c-4|=12$ なので $c=16$ または $c=-8$。
$c>0$ より $c=16$。C$(0,16)$。
検算: $△\mathrm{ABC}=\frac{1}{2}\times 12\times 6=36=3\times 12$。