関数の問題

$t$ の値

$x=t$ のとき $y=\frac{1}{2}{t}^2$、$x=t+4$ のとき $y=\frac{1}{2}(t+4{)}^2$ だから、変化の割合は

$$\frac{\frac{1}{2}(t+4{)}^2-\frac{1}{2}{t}^2}{(t+4)-t}=\frac{\frac{1}{2}(8t+16)}{4}=t+2$$

これが $-3$ なので $t+2=-3$、$t=-5$。

よって $\mathrm{A}$ の $x$ 座標は $-5$、$\mathrm{B}$ の $x$ 座標は $-1$ で

$$\mathrm{A}\left(-5,\frac{25}{2}\right),\mathrm{B}\left(-1,\frac{1}{2}\right)$$

直線 $\mathrm{AB}$ の式

変化の割合は 2 点 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$ を通る直線の傾きに等しいので、直線 $\mathrm{AB}$ の傾きは $-3$。$y=-3x+b$ とおいて $\mathrm{B}$ の座標を代入すると

$$\frac{1}{2}=-3\times (-1)+b,b=-\frac{5}{2}$$

よって直線 $\mathrm{AB}$ は $y=-3x-\frac{5}{2}$ で、$y$ 軸との交点を $\mathrm{C}$ とすると $\mathrm{C}\left(0,-\frac{5}{2}\right)$、$\mathrm{OC}=\frac{5}{2}$ である。

面積

$\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$ はともに $y$ 軸の左側にあり、$\mathrm{C}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{A}$ はこの順に一直線上に並ぶので

$$△\mathrm{OAB}=△\mathrm{OCA}-△\mathrm{OCB}=\frac{1}{2}\times \frac{5}{2}\times 5-\frac{1}{2}\times \frac{5}{2}\times 1=\frac{25}{4}-\frac{5}{4}=5$$

よって $5{\text{cm}}^2$ である。

$y=\frac{1}{2}{x}^2$ で $x$ が $t$ から $t+4$ まで増加するときの変化の割合は $\frac{1}{2}(t+t+4)=t+2$。$t+2=-3$ より $t=-5$。
A$\left(-5,\frac{25}{2}\right)$、B$\left(-1,\frac{1}{2}\right)$。
直線 AB の傾きは $-3$ で、$y=-3x+b$ に B を代入すると $\frac{1}{2}=3+b$、$b=-\frac{5}{2}$。よって AB と $y$ 軸の交点は C$\left(0,-\frac{5}{2}\right)$。
△OAB $=$ △OAC $-$ △OBC $=\frac{1}{2}\times \frac{5}{2}\times 5-\frac{1}{2}\times \frac{5}{2}\times 1=\frac{25}{4}-\frac{5}{4}=5$ (cm${}^2$)。
検算: 座標から $\frac{1}{2}\left|(-5)\cdot \frac{1}{2}-(-1)\cdot \frac{25}{2}\right|=\frac{1}{2}\cdot 10=5$。