関数の問題

$a$ の値

$x=1$ のとき $y=a$、$x=3$ のとき $y=9a$ だから、変化の割合は

$$\frac{9a-a}{3-1}=4a$$

これが $-2$ なので $a=-\frac{1}{2}$。関数は $y=-\frac{1}{2}{x}^2$ である。

$x$ が $-1$ から $5$ まで増加するときの変化の割合

$x=-1$ のとき $y=-\frac{1}{2}$、$x=5$ のとき $y=-\frac{25}{2}$ だから

$$\frac{-\frac{25}{2}-\left(-\frac{1}{2}\right)}{5-(-1)}=\frac{-12}{6}=-2$$

その $3$ 倍は $-6$ である。

$x$ が $t$ から $t+2$ まで増加するときの変化の割合

$$\frac{-\frac{1}{2}(t+2{)}^2-\left(-\frac{1}{2}{t}^2\right)}{(t+2)-t}=\frac{-\frac{1}{2}(t^2+4t+4-t^2)}{2}=\frac{-\frac{1}{2}(4t+4)}{2}=-(t+1)$$

これが $-6$ に等しいので $-(t+1)=-6$、$t=5$。

$y$ の最小値

$x$ の変域は $5\leqq x\leqq 7$ である。$y=-\frac{1}{2}{x}^2$ は $x>0$ の範囲では $x$ が増加すると $y$ は減少するので、$y$ は $x=7$ のとき最小になる。

$$y=-\frac{1}{2}\times 7^2=-\frac{49}{2}$$

よって最小値は $-\frac{49}{2}$ である。

$y=a{x}^2$ で $x$ が $p$ から $q$ まで増加するときの変化の割合は $a(p+q)$。
$1$ から $3$ で $a(1+3)=4a=-2$ より $a=-\frac{1}{2}$。
$-1$ から $5$ の変化の割合は $-\frac{1}{2}\times (-1+5)=-2$。
$t$ から $t+2$ の変化の割合は $-\frac{1}{2}\times (2t+2)=-(t+1)$。これが $-2$ の $3$ 倍の $-6$ に等しいので $t+1=6$、$t=5$。
よって変域は $5\le x\le 7$。$y=-\frac{1}{2}{x}^2$ はこの範囲で $x$ が増えると $y$ が減るので、$x=7$ で最小。最小値は $-\frac{1}{2}\times 49=-\frac{49}{2}$。
検算: $t=5$ のとき変化の割合は $\frac{-\frac{49}{2}+\frac{25}{2}}{2}=-6$ で、$-2$ の $3$ 倍と一致。