変化の割合

1 次関数や $y = a x^{2}$ で、 $x$ が $p$ から $q$ まで増加するときの変化の割合 $\frac{y の増加量}{x の増加量}$ を求め、変化の割合から $a$ を求められる（ $y = a x^{2}$ では $a (p + q)$ になることを含む）

前提

関数 $y = a x^{2}$ の式と変域（中学数学関数）
1 次関数の式の求め方（中学数学関数）
因数分解（中学数学数と式）

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算数中学高校大学大学院

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1 次関数の式の求め方（中学数学関数）
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因数分解（中学数学数と式）

説明

$x$ がある値からある値まで増加するとき、 $y$ が平均して $x$ 1 あたりどれだけ増加するかを表す「変化の割合」を求められるようになります。1 次関数では変化の割合はいつも傾き $a$ に等しく、 $y = a x^{2}$ では $x$ が $p$ から $q$ まで増加するときの変化の割合が $a (p + q)$ になります。逆に、変化の割合がわかっているときに $a$ を求めることもできます。平均の速さを求める問題や、放物線と直線の問題で使います。

なぜそうしてよいのか

変化の割合は次の式で定めます。
$変化の割合 = \frac{y の増加量}{x の増加量}$
増加量は「あとの値 − はじめの値」で、減少したときは負の数になります。

1 次関数 $y = a x + b$ で $x$ が $p$ から $q$ まで増加すると、 $y$ は $a p + b$ から $a q + b$ に変わるので、 $y$ の増加量は $(a q + b) - (a p + b) = a (q - p)$ です。 $x$ の増加量 $q - p$ でわると $a$ になります。つまり 1 次関数の変化の割合はどこでも一定で、傾き $a$ と同じです。

$y = a x^{2}$ では、 $y$ は $a p^{2}$ から $a q^{2}$ に変わるので、 $y$ の増加量は $a q^{2} - a p^{2} = a (q^{2} - p^{2}) = a (q + p) (q - p)$ と因数分解できます。 $x$ が増加するので $q - p$ は 0 ではなく、 $q - p$ でわれて、変化の割合は $a (p + q)$ になります。このように、 $y = a x^{2}$ の変化の割合は $x$ の範囲によって変わります。この結果を使うと、 $y$ の値を 1 つずつ計算しなくても変化の割合がすぐ求められ、変化の割合から $a$ を求める問題も 1 次方程式で解けます。

手順

関数の種類（1 次関数か $y = a x^{2}$ か）と、 $x$ がどこからどこまで増加するか（ $p$ と $q$ ）を確かめる
1 次関数なら、変化の割合は傾き $a$ に等しい
$y = a x^{2}$ なら、 $\frac{a q ^{2} - a p ^{2}}{q - p}$ を計算するか、まとめた形 $a (p + q)$ を使う
変化の割合がわかっていて $a$ を求めるときは、「 $a (p + q) =$ 変化の割合」という $a$ の 1 次方程式を解く

例題

関数 $y = a x^{2}$ について、 $x$ の値が $2$ から $6$ まで増加するときの変化の割合が $- 4$ であった。 $a$ の値を求めよ。

例題の解答

【手順 1】関数は $y = a x^{2}$ で、 $x$ は $p = 2$ から $q = 6$ まで増加します。1 次関数ではないので、手順 2 は使わず手順 3 に進みます。

【手順 3】変化の割合は $a (2 + 6) = 8 a$ です。（ていねいに書くと、 $x = 2$ のとき $y = 4 a$ 、 $x = 6$ のとき $y = 36 a$ なので、 $\frac{36 a - 4 a}{6 - 2} = \frac{32 a}{4} = 8 a$ です。）

【手順 4】これが $- 4$ に等しいので $8 a = - 4$ 、 $a = - \frac{1}{2}$ です。

（たしかめ: $y = - \frac{1}{2} x^{2}$ で $x = 2$ のとき $y = - 2$ 、 $x = 6$ のとき $y = - 18$ なので、変化の割合は $\frac{- 18 - ( - 2 )}{6 - 2} = \frac{- 16}{4} = - 4$ です。）

答え: $a = - \frac{1}{2}$

答え: $- \frac{1}{2}$

よくある誤り

$y = a x^{2}$ の変化の割合を、1 次関数と同じように $a$ だとしてしまう誤り（ $y = 2 x^{2}$ で $x$ が 1 から 3 まで増加するときの変化の割合を $2$ とする）。正しくは $2 \times (1 + 3) = 8$
分母と分子を逆にしてしまう誤り（ $\frac{x の増加量}{y の増加量}$ を計算する）。正しくは $y$ の増加量を $x$ の増加量でわる
$x$ の値の和 $p + q$ ではなく差 $q - p$ を使ってしまう誤り（ $y = a x^{2}$ で $x$ が 2 から 6 まで増加するときを $a (6 - 2) = 4 a$ とする）。正しくは $a (2 + 6) = 8 a$
$x$ の範囲に負の数があるとき、符号をまちがえる誤り（ $y = x^{2}$ で $x$ が $- 3$ から $1$ まで増加するときを $1 \times (3 + 1) = 4$ とする）。正しくは $1 \times (- 3 + 1) = - 2$

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
関数 $y = 2 x^{2}$ について、 $x$ の値が $1$ から $3$ まで増加するときの変化の割合を求めなさい。

変化の割合

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

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