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関数の問題

難易度 2教科書の章末問題レベル中学数学関数

関数 $y = a x^{2}$ について、 $x$ の値が $2$ から $6$ まで増加するときの変化の割合は $4$ である。この関数で、 $x$ の変域を $- 3 ≦ x ≦ 1$ とするとき、 $y$ の変域は $p ≦ y ≦ q$ となる。 $p$ , $q$ の値をこの順に求めよ。

この問題で使うもの

変化の割合（説明と入口の問題）
関数 $y = a x^{2}$ の式と変域（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（21 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

変化の割合 $= \frac{y の増加量}{x の増加量}$ を $a$ を使って表し、 $a$ の値を求めましょう。

ヒント 2

$x = 2$ のとき $y = 4 a$ 、 $x = 6$ のとき $y = 36 a$ です。 $y$ の変域を考えるときは、 $x$ の変域に $0$ が含まれるかどうかに注意しましょう。

ヒント 3

$a = \frac{1}{2}$ です。 $x$ の変域が $0$ を含むので最小値は $x = 0$ のときです。最大値は $x = - 3$ と $x = 1$ のどちらのときかを比べましょう。

答えと解説

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(0, \frac{9}{2})

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解説を読む

$x = 2$ のとき $y = 4 a$ 、 $x = 6$ のとき $y = 36 a$ だから、変化の割合は
$\frac{36 a - 4 a}{6 - 2} = \frac{32 a}{4} = 8 a$
これが $4$ なので $8 a = 4$ 、 $a = \frac{1}{2}$ 。よって関数は $y = \frac{1}{2} x^{2}$ である。

$a > 0$ なので、グラフは上に開いた放物線で、 $x = 0$ のとき $y$ は最小値 $0$ をとる。変域 $- 3 ≦ x ≦ 1$ は $x = 0$ を含むので、 $y$ の最小値は $0$ である。

$y$ の最大値は、 $x = 0$ から最も離れた $x = - 3$ のときで
$y = \frac{1}{2} \times (- 3)^{2} = \frac{9}{2}$
（ $x = 1$ のときは $y = \frac{1}{2}$ で、これより小さい。）

よって $y$ の変域は $0 ≦ y ≦ \frac{9}{2}$ で、 $p = 0$ 、 $q = \frac{9}{2}$ である。

別解

$x = 2$ のとき $y = 4 a$ 、 $x = 6$ のとき $y = 36 a$ 。変化の割合は $\frac{36 a - 4 a}{6 - 2} = 8 a = 4$ より $a = \frac{1}{2}$ 。 $y = \frac{1}{2} x^{2}$ 。
$a > 0$ なので下に凸で、 $- 3 ≦ x ≦ 1$ は $x = 0$ を含むから最小値は $0$ 。最大値は $∣ x ∣$ が大きい $x = - 3$ のときで $\frac{1}{2} \cdot 9 = \frac{9}{2}$ 。
よって $0 ≦ y ≦ \frac{9}{2}$ 、 $p = 0$ , $q = \frac{9}{2}$ 。
検算: $x = 1$ のとき $y = \frac{1}{2}$ で $\frac{9}{2}$ より小さい ✓。

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