関数の問題

$a$ の符号と $b$ の範囲

$y$ の変域に正の値 $18$ があるので、$a>0$ である（$a<0$ なら $y\leqq 0$ となってしまう）。

$a>0$ のとき $y$ の最小値が $0$ になるのは、変域が $x=0$ を含むときだけなので、$b\geqq 0$。

変化の割合

$x=-3$ のとき $y=9a$、$x=b$ のとき $y=a{b}^2$ だから、変化の割合は
$$\frac{a{b}^2-9a}{b-(-3)}=\frac{a(b+3)(b-3)}{b+3}=a(b-3)$$
これが $-4$ なので $a(b-3)=-4$。$a>0$ より $b-3<0$、つまり $b<3$。

最大値から $a$ を求める

$0\leqq b<3$ だから、変域 $-3\leqq x\leqq b$ のうち $|x|$ が最も大きいのは $x=-3$ である。$a>0$ なので、$y$ は $x=-3$ のとき最大値 $9a$ をとる。

$9a=18$ より $a=2$。

$b$ を求める

$2(b-3)=-4$ より $b-3=-2$、$b=1$。これは $0\leqq b<3$ を満たす。

確認

$y=2x^2$、$-3\leqq x\leqq 1$ のとき、最小値は $x=0$ で $0$、最大値は $x=-3$ で $18$。変化の割合は $\frac{2-18}{1-(-3)}=\frac{-16}{4}=-4$。すべての条件に合う。

よって、$a=2$、$b=1$ である。

$y$ の変域に $0$ が含まれるので $x=0$ が変域に含まれ、$b\geqq 0$。このとき最小値は $0$ なので $a>0$ である（$a<0$ なら最大値が $0$ になり、最大値 $18$ に反する）。
変化の割合は $\frac{a{b}^2-9a}{b-(-3)}=a(b-3)=-4$。$a>0$ より $b-3<0$、すなわち $b<3$。
$b<3$ かつ $b\geqq 0$ のとき、$x=-3$ の方が $|x|$ が大きいので最大値は $x=-3$ のときの $9a=18$ より $a=2$。
これを $a(b-3)=-4$ に代入して $2(b-3)=-4$、$b=1$。$0\leqq b<3$ を満たす。
検算: $y=2x^2$, $-3\leqq x\leqq 1$ で $y$ は最小 $0$、最大 $18$ ✓。$x=-3\to y=18$、$x=1\to y=2$、変化の割合 $\frac{2-18}{1+3}=-4$ ✓。